Abstand zweier Geraden mittels Analysis

Question

Ich habe ein Referat zu halten über die Berechnung des kürzesten Abstandes beliebiger Punkte zweier Geraden. Mein Problem ist, dass ich das ganze nicht so ganz durchblicke.

Angenommen ich habe zwei Geraden g und h im R^3.. wie berechne ich den minimalen Abstand von einem beliebig gewählten aber vorher festgelegten Punkt X (sprich der Punkte X ist fix da sonst mehrvariablige Funktion) zu einem Punkt Y auf h?

Und wie lässt sich dies in einer Funktion verallgemeinern?

Ich hab auch mal eine konkrete Fragestellung beigepackt:

9. Berechnen des Abstands zweier Geraden mit Mitteln der Analysis

Gegeben sind die Geraden: \( \quad g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+\lambda \cdot\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right) \),

\( \mathrm{h}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{r}2 \\ -1 \\ 0\end{array}\right)+\mu \cdot\left(\begin{array}{r}4 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) \)

Berechne den Abstand der Geraden nach folgendem Verfahren:

(1) Bestimme den Abstand zweier beliebiger Punkte X bzw. Y, die auf g bzw. h liegen.
(2) Bestimme zu einem beliebigen, aber festen Punkt \( \mathrm{Y} \) der Geraden h denjenigen Punkt \( \mathrm{X}^{*} \) der Geraden \( \mathrm{g} \), der von \( \mathrm{Y} \) die kleinste Entfernung hat. Warum ist beim Bilden der 1. Ableitung der Parameter \( \mu \) als konstant anzusehen?
(3) Zeige: \( \left|\mathrm{X}^{*} \mathrm{Y}\right|=\sqrt{9 \mu^{2}-6 \mu+3} \)
(4) Berechne nun das Minimum der Funktion \( \mathrm{f} \) mit \( \mathrm{f}(\mu)=\left|\mathrm{X}^{*} \mathrm{Y}\right|^{2} \).
(5) Zeige: Man erhält dasselbe Ergebnis, wenn man zuerst den Punkt \( \mathrm{X} \), festhält".
(6) Die Funktionen \( \mathrm{f} \) und \( \mathrm{g} \) mit \( \mathrm{g}(\mu)=(\mathrm{f}(\mu))^{2} \) nehmen an der selben Stelle ihre Minima an. Dies erleichtert die Rechnung in (4). Entsprechendes gilt für (2).

Comments

gehe halt schritt für schritt wie angegeben vor

dann kannst du λ durch  μ ausdrücken und bekommst den dargestellten ausdruck.

ein sehr eigenwilliger formalismus

Answer 1

1) Bestimme den Abstand d(g1,g2) = d(λ,μ)= |g1-g2|

2) halte Y also μ fest und bestimme μ so, dass der Abstand d(X,Y) minimal wird, das ergibt eine einfache Beziehung zwischen den beiden Parametern

3) setze diese in (1) ein und du hast die gesuchte Beziehung

4) jetzt bestimmst du das Minimum und hast das Problem gelöst