Ich habe folgenden Vorschlag.
1. löse die Aufgabe in einem einfacheren System.
2. verdrehe dann alles mit einer passenden Drehmatrix
Zu 1)
aus\( P(3;-1;7)\) wird \(P'(0;0;\sqrt{59})\)
dann haben wir die Punkte
\(A_1'(0;5\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{59}} ;\frac{34}{\sqrt{59}})\)
\(A_2'(0;-5\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{59}} ;\frac{34}{\sqrt{59}})\)
\(A_3'(5\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{59}} ;0;\frac{34}{\sqrt{59}})\)
\(A_4'(-5\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{59}} ;0;\frac{34}{\sqrt{59}})\)
Dabei ist \(|P'A'_i|=5\)
\(|P'|=\sqrt{59}\)
\(|A_i|=\sqrt{34}\)
\( OA'_i ⊥ A'_iP\)
Nehmen wir
\( B_1'(5\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{59}} ;5\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{59}} ;\frac{34}{\sqrt{59}})\)
\( B_2'(-5\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{59}} ;5\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{59}} ;\frac{34}{\sqrt{59}})\)
\( B_3'(-5\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{59}} ;-5\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{59}} ;\frac{34}{\sqrt{59}})\)
\( B_4'(5\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{59}} ;-5\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{59}} ;\frac{34}{\sqrt{59}})\)
So können wir unsere Ebenen angeben, die durch den Ursprung \(O\) gehen und den Abstand 5 zu \(P'\) haben.
\(V_i=s*B'_i+t*B'_{i+1}\)
zu 2)
Was jetzt noch fehlt ist die Drehmatrix, die das alles umformt, so dass
\(A*P'=P\). und. \(A*B'_i=B_i\)
diesen Zweck erfüllt
$$A=\begin{pmatrix} \sqrt{\frac{49}{58}}&\sqrt{\frac{9}{58*59}}&\sqrt{\frac{9}{59}}\\ 0&\sqrt{\frac{58}{59}}&-\sqrt{\frac{1}{59}}\\ -\sqrt{\frac{9}{58}}&\sqrt{\frac{49}{58*59}}&\sqrt{\frac{49}{59}}\end{pmatrix} $$
\(V_i=s*B_i+t*B_{i+1}\)
für i = 4 gilt i+1=1
Jetzt haben wir sogar 4 Ebenen gefunden
