Aloha :)
Du musst versuchen, in jeder Spalte so viele Nullen wir möglich einzutragen:
$$\begin{array}{rrrrr|l}1 & 3 & 2 & 0 & 2\\2 & 3 & 1 & 1 & 3 & -2S_1\\3 & 5 & 4 & 6 & 7 & -3S_1\\\hline1 & 3 & 2 & 0 & 2 & +S_2\\ 0& -3 & -3 & 1 & -1 & \\0 & -4 & -2 & 6 & 1 & -S_2\\\hline1 & 0 & -1 & 1 & 1 & \\ 0& -3 & -3 & 1 & -1 & -3S_3\\0 & -1 & 1 & 5 & 2 & \cdot(-1)\\\hline1 & 0 & -1 & 1 & 1 & \\ 0& 0 & -6 & -14 & -7 &:(-6)\\0 & 1 & -1 & -5 & -2 &\\\hline1 & 0 & -1 & 1 & 1 & +S_2 \\ 0& 0 & 1 & \frac{7}{3} & \frac{7}{6} &\\0 & 1 & -1 & -5 & -2 & +S_2\\\hline1 & 0 & 0 & \frac{10}{3} & \frac{13}{6} & \\[0.5ex] 0& 0 & 1 & \frac{7}{3} & \frac{7}{6} &\\0 & 1 & 0 & -\frac{8}{3} & -\frac{5}{6} & \\[0.5ex]\hline\hline\end{array}$$Der Kern der Matrix besteht also aus den Vektoren:
$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{10}{3}x_4-\frac{13}{6}x_5\\[0.5ex]\frac{8}{3}x_4+\frac{5}{6}x_5\\[0.5ex]-\frac{7}{3}x_4-\frac{7}{6}x_5\\[0.5ex]x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{10}{3}x_4\\[0.5ex]\frac{8}{3}x_4\\[0.5ex]-\frac{7}{3}x_4\\[0.5ex]x_4\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\frac{13}{6}x_5\\[0.5ex]\frac{5}{6}x_5\\[0.5ex]-\frac{7}{6}x_5\\[0.5ex]0\\x_5\end{pmatrix}=\frac{x_4}{3}\begin{pmatrix}-10\\8\\-7\\3\\0\end{pmatrix}+\frac{x_5}{6}\begin{pmatrix}-13\\5\\-7\\0\\6\end{pmatrix}$$
