Matrixumformung in Zeilenstufenform

Question

Ist diese Umformumg richtig? (Es ist eine reele Matrix)

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}{\left[\begin{array}{llll|l}1 & 2 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 0\end{array}\right]^{(-(-2)}+\left[\begin{array}{cccc|c}1 & 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 0\end{array}\right]^{1 \cdot\left(-\frac{1}{3}\right)} \leadsto\left[\begin{array}{llll|l}1 & 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 0\end{array}\right]} \\ \sim\left[\begin{array}{llll|l}1 & 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 0\end{array}\right] \stackrel{(-(-) \cdot(-2)}{]^{+}}+\left[\begin{array}{llll|l}1 & 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{llll|l}1 & 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \\\end{array} \)

Comments

Im zugehörigen Gleichungssystem kommt x₃ nicht vor, kann also jeden Wert annehmen. Im Übrigen gilt x₁=x₂=x₄=0. Das ist bei deiner Umformung von Anfang bis Ende der Fall. Einen Fehler kann ich auf diese Weise nicht entdecken.

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Ich danke Dir erstmal!

Ich denke mal, da x_3 nicht vorkommt, also es gilt ja 0*x_3 in jeder Zeile bzw. Gleichung, ist es ja beliebig dann wählbar, d.h. man definiere x_3 := t, wobei t eine beliebige reele Zahl ist und der Lösungsraum des LGS müsste ja dementsprechend der Raum

 {t (0,0,1,0)} = span{(0,0,1,0)} in R^4  sein, oder?

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Wenn es Dir um die Lösung geht (und nicht darum die Gauß-Umformungen zu üben), dann findest Du diese Lösung (ja, die stimmt) wesentlich einfacher ohne Matrizen-Umformungen. Siehe Kommentar von Roland. Die 3. und 4. Gleichung hängt nur von \(x_2\) und \(x_4\) ab, lässt sich daraus schnell als \(x_2=x_4=0\) bestimmen usw.

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Alles klar, danke!

Answer 1

Ist alles OK. Ich sehe keinen Fehler.

Comments

Danke sehr! :)