Gauß-Algorithmus, Zeilenstufenform

Question

Eine Firma stellt Räuchermänner, Weihnachtspyramiden und Kerzenständer her.
Für ein Männchen werden 3 Kugeln & 4 Stangen verwendet.
Für die Weihnachtspyramide werden jeweils 2 Platten, 5 Kugeln & 4 Stangen. Für die Fertigung benötigt ein Mitarbeiter 35min.
Ein Kerzenständer besteht aus 1 Platte, 1 Stange & 4 Kugeln. Man benötigt 45min
Der Lagerbestand umfasst 1 440 Kugeln, s Stangen und 450 Platten. Es werden 40min benötigt.

(a) Für welche Werte von s Stangen ist es möglich, den Lagerbestand vollständig zu Männchen, Weihnachtspyramiden & Kerzenständern zu verarbeiten?

(b) Wie lange brauchen die Mitarbeiter jeweils dazu?

Also ich habe schon mal eine Koeffizenten-Matrix aufgestellt:

Kugeln    3  5  4  |  1440
Platten    0  2  1  |  450
Stangen  4  4  1  |   a

Nun sollte ich das doch irgendwie in eine Zeilenstufenform umwandeln, das fällt mir nur leider sehr schwer und ich hänge hier schon eine Weile.. hab mir auch youtube videos zum Gauß-Verfahren also den Umformung angeschaut aber ich komme trotzdem nicht darauf. Brauche erstmal nur Hilfe bei Aufgabe a)

Danke schon mal!

Answer 1

In der zweiten Zeile hast du ja vorn schon eine 0, also brauchst du nur die dritte Zeile passend umzuformen.

Subtrahiere vom Vierfachen der ersten Zeile das Dreifache der dritten Zeile, Das Ergebnis davon ist deine neue dritte Zeile.

Comments

Okay also ich rechne 3III - 4I und erhalte:

K      3   5   4      | 1440 
P     0    2   1      |  450
S     0  -8  -13     |  a - 5760

Dann III' + 4II'

K     3   5   4         | 1440
P     0   2   1         |  450
S     0   0   -9         |  a- 3960

so?

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Deine 9 muss eine -9 sein.

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Das war ein Tippfehler, danke für die Info ^^
wie komme ich nun auf den gesuchten Wert?

Wenn ich im LGS durch -9 teile erhalte ich z = -a/9 + 440, ich weiß jetzt nicht genau was ich damit anfangen soll.. :( soll ich vielleicht mit der determinanten schauen, wann rang(A) = rang (A|\( \vec{b} \) um sicher zu gehen, dass da nur eine Lösung rauskommt oder wie geh ich jetzt weiter vor

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Anders gefragt: Wie komme ich nun auf den Parameter?

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Wenn ich im LGS durch -9 teile erhalte ich z = -a/9 + 440, ich weiß jetzt nicht genau was ich damit anfangen soll.. :(

Na, als erstes solltest du mal das GS vollständig lösen.

Da du z jetzt hast, kannst du y berechnen. Wenn du auch y hast, kannst du x berechnen.

Was man jetzt schon aus z = -a/9 + 440 schlussfolgern kann:

a kann nur eine durch 9 teilbare Zahl sein, weil z ja irgendeine nichtnegative ganze Zahl sein muss. Aus dem gleichen Grund darf a höchstens 3960 sein.

Andere Einschränkungen ergeben sich vieleicht noch, wenn du y und x bestimmt hast.

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ich habe für y = 0,5a/9 + 5 und für x = -115 + a/2

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y = 0,5a/9 + 5

Wenn das stimmt (habe nicht nachgerechnet) muss a sogar durch 18 teilbar sein.

x = -115 + a/2

Wenn das stimmt (habe nicht nachgerechnet) muss a sogar mindestens 330 sein.

Ob alles stimmt merkst du, wenn du mit x, y und z die Probe in allen drei Gleichungen machst.

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Die Probe habe ich bereits gemacht, das sollte passen, wenn ich mich nicht verrechnet habe.. Also wenn ich für a = 2970 (durch 9,18 und 330 teilbar) einsetze, erhalte ich 2970 - 3960 = -990

geteilt durch - 9 erhalte ich z = 110, wenn ich dasselbe für y und x mache, habe ich 110 Kerzenständer, 170 Weihnachtspyramiden und 50 Männchen??? bin mir seehr unsicher was ich da getan hab haha ohman

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Danke auf jeden Fall schon mal für die Hilfe, das ist mega nett

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a muss nicht durch 330 teilbar sein, es muss nur a≥330 gelten.

Die erste durch 18 teilbare Zahl nach 330 ist 342, die nächste ist 360, die übernächste 378 usw.

Die letzte wäre 3960. Berechne mal für diese 4 Varianten von a die Werte von x, y und z und mache die Probe nicht an den Gleichungen, sondern am Text: Werden dabei alle 1440 Kugeln, alle 540 Platten und alle a Stangen verbraucht?

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also auch wenn a = 2970 nicht durch 330 teilbar sein muss.. bekomme ich damit trotzdem die Lösung hmmm also wenn ich das im Text einsetze werden alle 990 Stangen 1440 Kugeln und 450 Platten verbraucht