Berechne den Grenzwert der Folge

Question

Aufgabe:

Berechne den Grenzwert der Folge (u_n), n ∈ ℕ \ {0,1,2,3,4}, mit Definition

∀ n ≥ 5: u_n =  \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) * ((\( \frac{1}{3} \))¹⁰ + (\( \frac{1}{3} \))¹² + (\( \frac{1}{3} \))¹⁴ + ... + (\( \frac{1}{3} \))^2n)

Problem/Ansatz:

Ich muss ja erstmal die Summe berechnen, also muss ich die Anzahl Glieder der geometrischen Folge bestimmen:

u₁ = (\( \frac{1}{3} \))¹⁰

q = (\( \frac{1}{3} \))²

Wenn x die Anzahl Glieder der Summe ist, dann gilt:

u_x = (\( \frac{1}{3} \))²ⁿ = (\( \frac{1}{3} \))¹⁰ * ((\( \frac{1}{3} \))²)^x-1

Mit den Potenzregeln gelange ich dann zu der Rechnung 2n = 10 + 2(x-1) → x= n-4

Wie muss ich jetzt fortfahren?

Answer 1

Das q hast du ja schon.

Dann berechne mal erst den GW für die Summe von q^0 +q^1 + q^2 + ... bis unendlich,

das gibt 1 / (1-q)  1 / ( 1-1/9) =  9/8 . Davon ziehst du die ersten

Summanden ab, so dass die Summe erst bei q^5 beginnt.