Term faktorisieren....Anwendung

Question

Aufgabe:

Hallo, wie faktorisiere ich diesen Term aus?

x^3 -3x -2 =0

:)

Comments

Satz über rationale Nullstellen (https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen): Ist a/b eine rationale Nullstelle mit a, b teilerfremd, dann teilt b den Leitkoeffizient und a das Absolutglied.

Also b teilt 1 und a teilt -2, d.h. \( b \in \{\pm 1 \}, ~a \in \{ \pm 1, \pm2 \} \) Die Kandidaten sind somit \( \pm 1, \pm 2 \).

Überprüfe diese!

Answer 1

Hallo,

einen Wert raten zum Beispiel 2 , dann eine Polynomdivision durchführen

(x³ -3x -2)   : (x-2)  =  x² +2x +1

-x³+2x²

   +2x²

   -2x²+4x

            x

            -x+2

                 0

x² +2x +1  = 0  das ist (x+1)²

x³ -3x -2 = (x-2) (x+1)²   oder (x-2)² *(x+1)*(x+1)

Answer 2

Aloha :)

Alle ganzzahligen Nullstellen des Polynoms müssten Teiler von der Zahl ohne \(x\) sein, hier also von \(-2\). Das sind nicht so viele, nämlich \(\pm1\) und \(\pm2\). Wir setzen diese Werte ein und finden, dass der Term null wird für \(x=2\) und für \(x=-1\). Jetzt könntest du z.B. eine Polynomdivision durch \((x-2)\) durchführen, oder die Funktion geschickt umschreiben, sodass wir \((x-2)\) ausklammern können:

$$f(x)=x^3-3x-2$$$$\phantom{f(x)}=(x^3\,\underbrace{-2x^2)+2x^2}_{=0}-3x-2$$$$\phantom{f(x)}=(x^3-2x^2)+(2x^2\,\underbrace{-4x)+x}_{=-3x}-2$$$$\phantom{f(x)}=x^2(x-2)+2x(x-2)+(x-2)$$$$\phantom{f(x)}=(x^2+2x+1)(x-2)$$$$\phantom{f(x)}=(x+1)^2(x-2)$$

Answer 3

Untersuche zunächst die Teile von -2, ob einer von ihnen die Gleichung erfüllt.

Damit solltest du mindestens einen Linearfaktor (vielleicht sogar mehrere) finden.