Question

Finden Sie ganze Zahlen a,b,c,d so dass für alle reellen Zahlen x,y,z gilt:

(15x+6z)^2-(9x-14y)^2=(ax+6z+by)(-14y+cx+dz)

Dabei sollen die Produkte nicht ausmultipliziert werden. Ich verzweifle schon den ganzen Tag daran. Für Lösungsansätze bin ich dementsprechend sehr dankbar!

Answer 1

Schreibe den linken Term mit der dritten binomischen Formel um vergleiche das entstehende Produkt zweier Klammern mit der rechten Seite.

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Wie würde ich den linken Term in dem Fall denn dann umschreiben?

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Gegenfrage: Hast du die dritte binomische Formel gefunden?

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Ja, a^2-b^2

was ja auch hinkommt, bis auf die Tatsache, dass b dann ja 9x-14y entspricht und ich nicht weiß, wie ich das in die rechte Seite einfügen kann...

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Dann lies doch mal die Antworten, die du hier bekommen hast:

https://www.onlinem...the.de/forum/Binomische-Formel-rueckwaerts-anwenden

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@AliSchi

$$(15x+6z)^2-(9x-14y)^2=(15x+6z-9x+14y)(15x+6z+9x-14y) \\ =(6x+14y+6z)(24x-14y+6z)$$

Answer 2

Dritte binomische Formel links anwenden und Koeffizienten vergleichen.

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Gerade noch die Kurve gekriegt...

;-)

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Haarscharf .

Answer 3

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Dabei sollen die Produkte nicht ausmultipliziert werden.

Ist auch wirklich nicht nötig! mal angenommen es existiert eine Lösung, dann beginne mit der Variable die links nur einmal steht - also das \(y\). Wir betrachten nur den Term mit \(y\):$$\dots -( \dots -14y)^2 = (\dots + by)(-14y + \dots) $$und dann nur das Quadrat, also den Koeffizienten vor \(y^2\)$$-14^2 y^2 = -14 b y^2 \implies b = 14$$oder?

Das gleiche mache nun mit \(z\) und \(z^2\), dann \(x\) und dann mit dem Koeffizienten vor \(xz\) usw.. Zur Kontrolle: ich habe \(a=6\), \(b=14\), \(c=24\) und \(d=6\).

Gruß Werner

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Vielen Dank, aber könntest du mir erklären, wie du auf a und c gekommen bist? Das bereitet mir am Meisten Schwierigkeiten..

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wie du auf a und c gekommen bist? Das bereitet mir am Meisten Schwierigkeiten..

Ja - kann ich, aber Du solltest lieber den anderen beiden Antworten folgen. Ich denke, dass ist die Lösung, die erwartet wird. Und am Ende ist sie auch einfacher!

Aus dem Term mit \(xz\) folgt $$\begin{aligned} 2 \cdot 15 \cdot 6 xz &= (ad + 6c)xz &&|\, d=6 \\ \implies 30 &= a+c\end{aligned}$$und aus dem Term mit \(xy\) folgt:$$\begin{aligned} 2 \cdot 9 \cdot 14 xy &= (-14a + cb)xy &&|\, b=14 \\ 18 &=  c-a\end{aligned}$$das sind zwei Gleichungen, die sich leicht lösen lassen.

Aber wie schon erwähnt: verfolge die alternative Lösung! Schreibe die linke Seite als Produkt und sortiere die Summanden überall nach \(x\), \(y\) und \(z\).