Question

Finden Sie ganze Zahlen a,b,c,d, so dass für alle reelle Zahlen x,y,z gilt:

(8x+13z)²-(3x-10y)² = (ax+13z+by)(-10+cx+dz)

Answer 1

Klammern auflösen (nichts von links nach rechts schaffen oder umgekehrt). Koeffiziemten vor x, y und z links mit rechts vergleichen. Das gibt Bestimmungsgleichungen für die gesuchten Zahlen, die allerdings noch ganzzahlig sein müssen (gesunden Menschenverstand anwenden)..

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aha, ich probier es mal

Answer 2

$$(8x+13z)^2-(3x-10y)^2=(ax+13z+by)(-10+cx+dz)$$ 
Wir berechne  beide Seiten: $$(8x+13z)^2-(3x-10y)^2=64x^2+208xz+169z^2-9x^2+60xy-100y^2 \\ =55x^2+208xz+169z^2+60xy-100y^2$$ $$(ax+13z+by)(-10+cx+dz)=-10ax+acx^2+adxz-130z+13cxz+13dz^2-10by+bcxy+bdyz$$ 
Die Koeffizienten der jeeiligen Termen müssen auf beide Seite gleich sein: 
z.B dieTerme von x² : 64=ac 
Was bekommst du wenn so weiter machst?

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Freut mich dass ich dir helfen konnte!! :-)

Answer 3

(8x+13z)²-(3x-10y)²  wegen 3. binomi Formel

=( 8x+13z - (3x-10y))*( 8x+13z + (3x-10y))

= ( 5x+13z +10y) * ( 11x + 13z - 10y )

Vergleich mit

(ax+13z+by)(-10+cx+dz)

oder war es eher

(ax+13z+by)(-10y+cx+dz)????

zeigt:

wähle a=5   b=10     c=11  d=13 

Dann passt es.

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ja, sorry, falsch eingetippt

Answer 4

  (  8  x  +  13  z  )  ²  -  (  3  x  -  10  y  )  ²  =  (  a  x  +  b  y  +  13  z  )  (  c  x  +  d  z  -  10  )     (  1a  )




   Wenn ( 1a ) iNdentisch erfüllt sein soll, dann muss auch der Gradient von ( 1a ) identisch verschwinden. Ableitung nach x




   a  (  c  x  +  d  z  -  10  )  +  c  (  a  x  +  b  y  +  13  z  )  =  16  (  8  x  +  13  z  )  -  6  (  3  x  -  10  y  )   (  1b  )
  
   2  a  c  x  +  b  c  y  +  (  a  d  +  13  c  )  z  -  10  a  =  110  x  +  60  y  +  16  *  13  z    (  1c  )


 

   Also ich weiß nicht. Wenn ich jetzt einen Koeffizientenvergleich mache, dann muss doch der inhomogene Term links verschwinden, also a = 0 .  Das beißt sich aber doch mit dem x-Koeffizienten 110 auf der rechten Seite; was meint ihr?