Integral: Alle Zerlegungen prüfen?

Question

Liebe Lounge,

sowohl bei der Darbouxschen Definition des Integrals (Ober- und Untersumme) als auch bei der riemannschen (beliebige Stützstelle) lässt mich folgender Teil verzweifeln:

Es steht jeweils: Wenn FÜR ALLE MÖGLICHEN ZERLEGUNGEN folgendes gilt...

Jetzt ist es aber doch unmöglich, alle Zerlegungen zu überprüfen?

Also wenn der Grenzwert von Ober- und Untersumme für alle möglichen Zerlegungen gegen eine Zahl C konvergieren, ist C der Wert des bestimmten Integrals.

Ich meine das für eine (äquidistante) Zerlegung zu zeigen, das ist mir möglich. Aber wie denn bitte für alle möglichen Zerlegungen !?

!!

Answer 1

Es ist einfach eine Definition. In der Definition steht nicht, dass von dir verlangt wird, alle möglichen Zerlegungen durchzurechnen.

Comments

Aber wie prüft man dann explizit auf Integrierbarkeit gemäß dieser Definition?

Dann würde es ja nicht reichen, die Gleichheit der Grenzwerte für eine (äquidistante) Zerlegung zu zeigen?

Weil es ja eine geben könnte, bei welcher die Grenzwerte nicht gleich wären!?

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Abakus?

Könntest du mir antworten bitte ?

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Bist du noch interessiert an einer Antwort?

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Klar! Ist ja noch nicht geklärt worden ...

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Also Riemann-Integrierbarkeit über alle Zerlegungen zu prüfen ausschließlich mittels der Definition ist soweit ich weiß nicht so ohne weiteres möglich. Es ist wir abakus gesagt hat eine Definition, die voraussetzt, dass über alle Zerlegungen die Eigenschaft des Riemanintegrals gilt. Du kannst zwar Riemann-Integrierbarkeit über verschiedene Sätze zeigen oder auch über EIgenschaften deiner Menge, Funktion etc. und dabei die Partition allgemein halten, sodass dies für alle gilt, aber wie gesagt, ist das Beweisen nur durch gegebenen Eigenschaften deiner Funktion möglich.