Prüfen Ob Cosh und Sinh eine gerade oder ungerade Funktion ist?

Question

Aufgabe:

es seien sinh: ℝ → R und cosh: ℝ → ℝ mit

sinh(x):= \( \frac{exp(x)-exp(-x)}{2} \)    ,   cosh(x):= \( \frac{exp(x)+exp(-x)}{2} \)  .

Zeigen Sie:

1. cosh ist eine gerade Funktion und sinh ist eine ungerade Funktion .

2. sinh ist streng monoton wachsend auf ℝ , während cosh streng monoton fallen auf (-∞, 0) sowie streng monoton wachsend auf (0; ∞ ) ist.

Problem/Ansatz:

Bin nicht sicher ,wie man beginnen soll , erklären Sie bitte Schritt für Schritt den Lösungsweg ,möchte solche Aufgaben Typen tief und gut verstehen .

Welche Gesetze, Regeln und Formeln  soll man anwenden ?

teilen Sie Quelle wo solche Beispiel Aufgaben ausführlich betrachtet werden  mit

Vielen Dank im Voraus!

mfg

Answer 1

gerade Funktionen: \( f(x)=f(-x) \)

ungerade Funktionen: \( f(-x)=-f(x) \)

Überprüfung, ob gerade Funktion:

$$\sinh (x)=\frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x}\right)=? \frac{1}{2}\left(e^{-x}-e^{-(-x)}\right)=\frac{1}{2}\left(e^{-x}-e^{x}\right) $$

\( \frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x}\right) \neq \frac{1}{2}\left(e^{-x}-e^{x}\right)  \) \(\to\) Somit ist \( \sinh (x) \) eine ungerade Funktion

Überprüfung, ob gerade Funktion:

$$ \cosh (x)=\frac{1}{2}\left(e^{x}+e^{-x}\right)=? \frac{1}{2}\left(e^{-x}+e^{-(-x)}\right)=\frac{1}{2}\left(e^{-x}+e^{x}\right) $$
\( \cosh (x)=\frac{1}{2}\left(e^{x}+e^{-x}\right)=\frac{1}{2}\left(e^{-x}+e^{x}\right) \rightarrow \) Somit ist \( \cosh (x) \) eine gerade Funktion.

mfG

Moliets

Comments

Text erkannt:

"2. \( f(x)=\sinh (x) \) ist streng monoton wachsend auf \( \mathrm{RR}^{\prime \prime} \)
Begriff: Streng monoton wachsend, wenn \( f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right) \)
\( f(x)=\sinh (x)=\frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x}\right) \)
\( f(2)=\frac{1}{2}\left(e^{2}-e^{-2}\right)=\frac{1}{2}\left(e^{2}-\frac{1}{e^{2}}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{e^{4}-1}{e^{2}}\right) \approx 3,63 \)
\( f(5)=\frac{1}{2}\left(e^{5}-e^{-5}\right)=\frac{1}{2}\left(e^{5}-\frac{1}{e^{5}}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{e^{10}-1}{e^{5}}\right) \approx 74,2 \)
\( 3,63<74,2 \)
"während coshx streng monoton fallend auf \( (-\infty, 0) \) sowie streng monoton wachsend auf \( (0 ; \infty) \) ist.
\( \rightarrow \) probiere nun mal selbst
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets