Tangente Gleichung der Umkehrfunktiin.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion:

f(x)=x³+6x²+9x+2

Bestimme die Tangente Gleichung der Umkehrfunktiin an der Stelle 0.

Ansatz:

Die Funktion kann man umschreiben:

x*(x+3)²+2=f(x)

Nur wie soll ich genau die Umkehrfunktion bestimmen. Die Funktion ist in der gegend von 0 zwar bijektiv, aber das Umformen auf y=f(X) ist nicht möglich.

Comments

Schau mal hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

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das Umformen auf y=f(X) ist nicht möglich

Habe ich etwas falsch verstanden, oder möchtest Du nicht auf x = f^-1(y) umformen?

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Ist die Aufgabe vollständig? Oder ist ein Intervall angegeben?

Answer 1

Hallo Babsi,

Du musst die Umkehrfunktion des Polynoms nicht bestimmen, um die Tangenten an die Umkehrfunktion zu berechnen! Schau Dir folgendes Diagramm an:

https://www.desmos.com/calculator/rtlclvmzo7

Dort siehst Du die Tangente \(t: \space y=-\frac 13 - 2\) (lila) an die Umkehrfunktion (grün) von \(f(x)\) im Punkt \((0|\, -2)\). Um sie zu bestimmen, reicht es aus, die Tangente in der Nullstelle von \(f(x)\) bei \(x_1 = -2\) (blau) zu berechnen und anschließend nur die Umkehrfunktion dieser Tangente zu bestimmen. Was bei einer linearen Funktion natürlich viel einfacher ist, als bei einem kubischen Polynom!

Bei den anderen beiden Nullstellen kannst Du genauso vorgehen. Es gibt in Summe drei Tangenten. Falls Du dazu noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Answer 2

Eine Umkehrfunktion gibt es nicht. Der Graph der Umkehrung hat 3 Äste:

An der Stelle x=0 hat jeder der 3 Äste einen anderen Wert. Der rote Ast hat zum Beispiel die Gleichung:

f^-1(x)=-2·sin(\( \frac{arcsin(\frac{x}{2})}{3} \))-2.