Beweise: für alle A∈Knxn gilt: det(A)=0 ⇔ ∃v∈Kn\{0}:A·v=0

Question

Sei K ein Körper und n∈ℕ

Ich soll folgende Aussage entweder beweisen oder widerlegen.

Für alle A∈K^nxn gilt: det(A)=0 ⇔ ∃v∈Kⁿ\{0}:A·v=0

Ich bin hier ziemlich verloren und weiß nichtmal was genau damit gemeint ist.

Jede Hilfe wäre super :)

Answer 1

Aloha :)

Es ist einfacher, die folgende äquivalente Aussage zu zeigen:$$\operatorname{det}(A)\ne0\;\Longleftrightarrow\;\text{Kern}(A)=\{\vec 0\}$$

Es seien \(\vec s_1,\vec s_2,\ldots,\vec s_n\) die Spalten der Matrix \(A\in\mathbb K^{n\times n}\), dann gilt: \(A\cdot\vec x=\sum\limits_{k=1}^n\vec s_k\cdot x_k\)

Damit können wir folgende Äquivalenzumformungen durchführen:

$$\text{Kern}(A)=\{\vec 0\}\;\Longleftrightarrow\;\forall\vec x\in \mathbb K^n\,:\,\left(A\cdot\vec x=0\implies \vec x=0\right)$$$$\phantom{\text{Kern}(A)=\{\vec 0\}}\;\Longleftrightarrow\;\forall x_1,\ldots,x_n\in\mathbb K\,:\,\left(A\cdot\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=\vec 0\implies x_1,\ldots,x_n=0\right)$$$$\phantom{\text{Kern}(A)=\{\vec 0\}}\;\Longleftrightarrow\;\forall x_1,\ldots,x_n\in\mathbb K\,:\,\left(\sum\limits_{k=1}^n\vec s_k\cdot x_k=\vec 0\implies x_1,\ldots,x_n=0\right)$$$$\phantom{\text{Kern}(A)=\{\vec 0\}}\;\Longleftrightarrow\;\vec s_1,\ldots,\vec s_n \text{ sind linear unabhängig}$$$$\phantom{\text{Kern}(A)=\{\vec 0\}}\;\Longleftrightarrow\;\operatorname{det}(A)=0$$

Comments

Vielen Dank für die Antwort!
Ich habe nur eine Frage ist das x auch aus K oder meinst du damit das v?

---

Ich habe ja beide Seiten der Äquivalenzaussage negiert, um den Beweis einfacher führen zu können. Deswegen wollte ich den Namen \(\vec v\) nicht weiterführen, denn \(\vec v\) sollte ja ungleich \(\vec 0\) sein. Der Vektor \(\vec x\) hingegen ist das einzige Element aus dem Kern, nämlich der Nullvektor.

---

Jetzt habe ichs verstanden :)

Vielen Dank für die Hilfe nochmal.