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Aufgabe:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f(x)= 0,2x^3-5x^2+6x+1 und runde auf 3 Nachkommastellen.


Ich weiß leider nicht welches Verfahren ich anwenden muss. Binomische Formeln kann ich ja schon mal ausschließen, aber was ist z.B. mit der pq-Formel, ich meine, mir ist ja nur das 0,2x^3 im Weg.

Falls mir da jemand weiterhelfen könnte, wäre das sehr nett. :)

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0.2·x^3 - 5·x^2 + 6·x + 1 = 0

Du findest leider alle Nullstellen hier nur mit einem Numerischen verfahren oder nutze

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm

x = 23.72672112 ∨ x = -0.1482444018 ∨ x = 1.421523280

Lösen der kubischen Gleichung   0,2x³ - 5x² + 6x + 1 = 0 
——————————————————————————————————————————————————————————

Die kubische Gleichung wird zunächst durch Division mit 0,2 auf die Normalform
x³ + rx² + sx + t = 0 gebracht.

x³ - 25x² + 30x + 5  = 0

Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung in eine reduzierte Form
y³ + py + q = 0 gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr auftritt.

(y + 8,333333333333334)³ - 25(y + 8,333333333333334)² + 30(y + 8,333333333333334) + 5 = 0

Die neuen Koeffizienten können bequemer auch direkt berechnet werden:

p = s - r²/3 = -178,33333333333334
q = 2r³/27 - rs/3 + t = -902,4074074074074

y³ - 178,33333333333334y - 902,4074074074074  = 0

Aus der Gleichung liest man also ab:

p = -178,33333333333334            q = -902,4074074074074

Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden.

Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen,
ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen,
und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen.

Für die ersten beiden Fälle verwendet man die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia,
im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis", löst man mithilfe
trigonometrischer Funktionen.

Im Falle dieser Gleichung ist R = -6470,601851851883.

Da R < 0, liegt der casus irreducibilis vor. Man erhält die Lösungen mit
y = 2·kubikwurzel(u)·cos(w/3 + v), wobei u = sqr(-(p/3)³) und cos(w) = -q/(2u) ist,
und v die Werte 0, 120° und 240° annimmt.

cos(w) = 0,9844773914894208  u = 458,31799450577057

y = 15,393387787794703
  1
y = -8,481577735152202
  2
y = -6,911810052642505
  3

Die Substitution x = y - r/3 wird durch Subtraktion von r/3 rückgängig gemacht.
r=-25 ist der quadratische Koeffizient der kubischen Gleichung.
Damit ergeben sich, der Größe nach geordnet, diese Lösungen:

x = -0,1482444018188699
  1
x = 1,421523280690832
  2
x = 23,726721121128037
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Danke für die Hilfe, aber leider hatte ich bisher in der Schule weder die kubische Gleichung, noch casus irreducibilis. Wegen Corona hinkt unser Lehrer ein bisschen hinter dem Lehrplan her.

Gibt es auch andere Methoden die Aufgabe zu lösen?

Ja. Wertetabelle und Intervallschachtelung

Wegen dem Vorzeichenwechsel erkennst du Nullstellen im Intervall [-1 ; 0] ; [1 ; 2] sowie [23 ; 24]

[-1, -10.2;
0, 1;
1, 2.2;
2, -5.4;
3, -20.6;
4, -42.2;
5, -69;
6, -99.8;
7, -133.4;
8, -168.6;
9, -204.2;
10, -239;
11, -271.8;
12, -301.4;
13, -326.6;
14, -346.2;
15, -359;
16, -363.8;
17, -359.4;
18, -344.6;
19, -318.2;
20, -279;
21, -225.8;
22, -157.4;
23, -72.6;
24, 29.8;
25, 151]

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Hallo,

ich nehme mal an, Du weißt, wie man die Funktion $$f(x) = 0,2x^3 - 5x^2 + 6x +1$$ableitet. Es ist $$f'(x) = 0,6x^2 - 10x + 6$$Dann kannst Du das Newton-Verfahren nutzen. Wie genau das funktioniert, ist u.a. hier beschrieben. Verschaffen wir uns zunächst einen Überblick über die Funktion mit Hilfe eines Plotters (oder alternativ einer Wertetabelle):

~plot~ 0.2x^3-5x^2+6x+1;[[-2|32|-400|50]] ~plot~

Daraus bieten sich die Startpunkte \(0\), \(2\) und \(24\) für die drei Nullstellen an:$$\begin{array}{c|cc}x_i& f(x_i)& f’(x_i)\\ \hline0& 1& 6\\ -0,167& -0,140& 7,683\\ -0,148& -0,002& 7,498\\ -0,148& 0,000& 7,496\end{array}$$ und für \(x_0=2\)$$\begin{array}{c|cc}x_i& f(x_i)& f’(x_i)\\ \hline 2& -5,4& -11,6\\ 1,534& -0,844& -7,932\\ 1,428& -0,046& -7,057\\ 1,422& 0,000& -7,003\end{array}$$und noch \(x_0=24\)$$\begin{array}{c|cc}x_i& f(x_i)& f’(x_i)\\ \hline24& 29,8& 111,6\\ 23,733& 0,666& 106,623\\ 23,727& 0,000& 106,507\end{array}$$Ansonsten bleibt noch Regula Falsi. Falls Du wissen möchtest, wie das funktioniert, so melde Dich bitte noch einmal.

Gruß Werner

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