0.2·x^3 - 5·x^2 + 6·x + 1 = 0
Du findest leider alle Nullstellen hier nur mit einem Numerischen verfahren oder nutze
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm
x = 23.72672112 ∨ x = -0.1482444018 ∨ x = 1.421523280
Lösen der kubischen Gleichung 0,2x³ - 5x² + 6x + 1 = 0
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Die kubische Gleichung wird zunächst durch Division mit 0,2 auf die Normalform
x³ + rx² + sx + t = 0 gebracht.
x³ - 25x² + 30x + 5 = 0
Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung in eine reduzierte Form
y³ + py + q = 0 gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr auftritt.
(y + 8,333333333333334)³ - 25(y + 8,333333333333334)² + 30(y + 8,333333333333334) + 5 = 0
Die neuen Koeffizienten können bequemer auch direkt berechnet werden:
p = s - r²/3 = -178,33333333333334
q = 2r³/27 - rs/3 + t = -902,4074074074074
y³ - 178,33333333333334y - 902,4074074074074 = 0
Aus der Gleichung liest man also ab:
p = -178,33333333333334 q = -902,4074074074074
Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden.
Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen,
ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen,
und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen.
Für die ersten beiden Fälle verwendet man die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia,
im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis", löst man mithilfe
trigonometrischer Funktionen.
Im Falle dieser Gleichung ist R = -6470,601851851883.
Da R < 0, liegt der casus irreducibilis vor. Man erhält die Lösungen mit
y = 2·kubikwurzel(u)·cos(w/3 + v), wobei u = sqr(-(p/3)³) und cos(w) = -q/(2u) ist,
und v die Werte 0, 120° und 240° annimmt.
cos(w) = 0,9844773914894208 u = 458,31799450577057
y = 15,393387787794703
1
y = -8,481577735152202
2
y = -6,911810052642505
3
Die Substitution x = y - r/3 wird durch Subtraktion von r/3 rückgängig gemacht.
r=-25 ist der quadratische Koeffizient der kubischen Gleichung.
Damit ergeben sich, der Größe nach geordnet, diese Lösungen:
x = -0,1482444018188699
1
x = 1,421523280690832
2
x = 23,726721121128037
