Bestimme das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn der Graph von f in den angegebenen Grenzen um die y-Achse rotiert.

Question

Aufgabe:

Bestimme das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn der Graph von f in den angegebenen Grenzen um die y-Achse rotiert.
a) f(x)=3x–2          y=1 bis y=4

b) f(x)=1                y=0,5 bis y=2

Problem/Ansatz:

Ich verstehe diese Aufgabe nicht, kann mir bitte jemand diese Aufgabe erklären, mit einem Lösungsweg!

Vielen Dank!

P.S. das Thema ist Integralrechnung - Rotationskörper

Answer 1

Aloha :)

Bei der Rotation um die \(y\)-Achse addierst du Kreisflächen mit dem Radius \(x\) entlang des Intervalls auf der \(y\)-Achse.$$V=\int\limits_{y_1}^{y_2}\pi x^2\,dy=\int\limits_{x(y_1)}^{x(y_2)}\pi x^2\,\frac{dy}{dx}\,dx=\int\limits_{x(y_1)}^{x(y_2)}\pi x^2f'(x)\,dx$$

zu a) Wir bestimmen zunächst die Integrationsgrenzen und die Ableitung:$$\text{a)}\quad f(x)=3x-2\quad;\quad y_1=1\;;\;y_2=4$$$$f(1)=1=y_1\implies x(y_1)=1$$$$f(2)=4=y_2\implies x(y_2)=2$$$$f'(x)=3$$Damit ist das Volumen dann:$$V=\int\limits_1^2\pi x^2\cdot3\,dx=\pi\left[x^3\right]_1^2=\pi(2^3-1^3)=7\pi$$

zu b) Hier ist nichts zu tun, weil \(f'(x)=0\) ist, sodass der Integrand verschwindet, d.h. \(V=0\).

Comments

Hallo, wie bestimmt hier die Ingrationsgrenzen? sprich wird es rechnerisch gemacht oder grafisch?

danke

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Rechnerisch. Du hast ja die Grenzen \(y_1\) und \(y_2\). Dazu kannst du die \(x\)-Werte bestimmen, bei denen die Funktion den jeweiligen \(y\)-Wert annimmt, also:$$y_1=f(x_1)\quad;\quad y_2=f(x_2)$$An Stelle von \(y_1\) und \(y_2\) setzt du die Grenzen \(x_1\) und \(x_2\) ein.

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danke habe es soeben verstanden

3x-2=4  |+2

3x=6   | :3

x=2

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Weshalb muss man die Ableitung bilden?

mfg.

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Hier sollte die Rotation um die \(y\)-Achse berechnet werden. Daher habe ich unter dem Integral das Differential \(dy\) durch \(dx\) substituiert:$$dy=\frac{dy}{dx}\,dx=y'(x)\,dx$$Dadurch brauche ich nicht erst die Umkehrfunktion zu bestimmen.

Answer 2

Text erkannt:

Bestimme das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn der Graph von \( f \) in den angegebenen Grenzen um die y-Achse rotiert.
a) \( y=3 x-2 \rightarrow \) Im Intervall: \( y=1 \) bis \( y=4 \)
\( y=3 x-2 \rightarrow \) Umkehrfunktion bestimmen
\( x=g(y)=\frac{y+2}{3} \)
\( V=\pi \int \limits_{a}^{b} g^{2}(y) \cdot d y \)
\( V=\pi \cdot \int \limits_{1}^{4}\left(\frac{y+2}{3}\right)^{2} \cdot d y=\ldots \)
mfG
Moliets

Answer 3

a)  f(x) = 3x – 2          y=1 bis y=4
Ich bilde die Umkehrfunktion und lasse dann um die
x-Achse rotieren
y = 3x -2
Umkehrfunktion
x = 3y -2
3y = x + 2
y = ( x + 2 ) / 3
y = x/3 + 2 / 3
y ist der Radius des Rotationskörpers
A = PI * r^2 = PI * ( x/3 + 2/3) ^2
A = PI * r^2 = PI * ( (x/3)^2 + 2 * 2 x / 9 + (2/3) ^2 )
A = PI * ( x^2 /9 + 4/9 * x + 4/9 )

Stammfunktion
S ( x ) = PI * ( x^3 / 27 + 4/18 * x^2 + 4/9 * x )

[ S ] zwischen 1 und 4
7 * PI

b.) gibt nichts
Hast du richtig aufgeschrieben ?