Punkte bestimmen in denen Funktion stetig ist

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Punkte \( a \in \mathbb{R} \), in denen die Funktion
\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}, & \text { wenn } x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \\ x^{3}, & \text { wenn } x \in \mathbb{Z} \end{array}\right. \)
stetig ist. (Hinweis: Satz 3.1.1.)

Satz 3.1.1:

Sei \( a \in A \subset \mathbb{R} \) und \( f: A \rightarrow \mathbb{R} \) eine Funktion, dann sind äquivalent:
(i) \( f \) ist stetig in a.
(ii) Für jede Folge \( \left(x_{n}\right) \) mit \( x_{n} \in A \) und \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \in A \) gilt
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=f(a) \)
Man drückt diese Aussage kurz durch die Schreibweise \( \lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) \) aus.

Problem/Ansatz:

Ich habe ohne Satz 3.1.1 damit Argumentiert das x² und x³ in sich stetig sind und dadurch die Bereiche mit x \( \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \\ \) stetig sind. in den Punkten in denen x eine ganze Zahlt ist ist die Funktion nicht mehr stetig, da für x > 1und x < 0 gilt x² ungleich x³ (x = 1 bildet dabei eine Ausnahme). Ich befürchte aber das diese Lösung nicht wirklich formell ist und komme auf keine die man mit Satz 3.1.1 begründen kann.

Comments

Okay hat sich erledigt, bin auf die Lösung gekommen.

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Hallo Yami001,

Magst du einen Tipp geben, wie du vorgegangen bist?

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Ich habe gezeigt das x² stetig ist (da gibt es online gute Erklärungen zu). Dann hab ich gezeigt das bis auf einige Ausnahmen (x = 0 oder x = 1) x² ungleich x³ ist. Dadurch hab ich geschlossen das die Werte zwischen den ganzen Zahlen stetig sind, die ganzen Zahlen (bis auf die Ausnahmen) jedoch nicht.