Wie orthonormiert man Basen bestehend aus Matrizen?

Question

kennt jemand ein Onlinetoolfür das Gram-Schmidtsche Orthonormierungsverfahren, allerdings mit Matrizen? Ich möchte meine Ergebnisse überprüfen.

Die Aufgabenstellung lautet:

Gewinnen sie aus der Basis \(C:c_1:= \begin{pmatrix} 1&0\\0&-1\end{pmatrix}, c_2:= \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}, c_3:= \begin{pmatrix} 3&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}\) eine Orthonormalbasis des Untervektorraumes \(S=\{A\in \mathbb{R}^{2 \times 2} \big\vert A^T=A\}\)

Answer 1

Hallo, damit du das aber machen kannst, brauchst du auch erstmal ein Skalarprodukt für Matrizen. Wie lautet deins? Ein Beispiel wäre ja \(\langle A,B \rangle=\operatorname{spur}(A\cdot B^T), \quad A,B\in \mathbb{R}^{n\times n}\).

Comments

Naja, ich habe es mit \(Sp(A^T\cdot B)\) gemacht, aber das macht ja keinen Unterschied. Meine Ergebnismatrizen sind:

\(d_1=\begin{pmatrix} \frac {1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & -\frac {1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} d_2= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \) und \(d_3= \begin{pmatrix} \frac{3}{6} & -\frac{1}{6} \\ \frac{1}{6} & \frac {5}{6} \end{pmatrix}\)

Ich weiß nicht ob du Lust hast nachzurechnen, oder ob vielleicht doch jemand weiß wie man Matrizen online orthonormieren kann :)

---

Ich kenn da jetzt online kein tool dazu. Im ersten ANlauf kann man ja mal wolframalpha fragen. Falls das nicht geht und du programmieren kannst, kannst du dir ja ein Programm schreiben, der dann für dich die Rechenarbeit übernimmt. Ansonsten musst du wohl selber ran, was hier aber noch sicherlich machbar ist! :-)

Um nun zu prüfen, ob du richtig gerechnet hast, siehst du, ob stets \(\operatorname{Sp}(d_i^T\cdot d_j)=\delta_{ij}=\begin{cases}1,\quad i=j\\0,\quad i\neq j \end{cases}\) gilt für \(i,j\in \{1,2,3\}\).

---

Hallo, dürfte ich fragen wie Du/Sie auf die Ergebnismatrizen gekommen bist/sind? Der Weg dahin ist mir sehr unklar. Vielen Dank im voraus.

---

Benutze das Gram-Schmidt-Verfahren.

---

Fürs Protokoll: Meine angegebenen Matrizen waren falsch. Ich habe scheinbar die Beträge falsch gerechnet.

Es wird das Gram-Schmidt-Verfahren genutzt, mit dem Skalarprodukt für Matrizen \(Sp(A^T \cdot B)\) und die Beträge werden über die Quadrierung und aufsummierung der Werte der Matrix und des anschließenden Wurzelziehens berechnet. Damit funktioniert das ganze dann richtig.

Freundliche Grüße