Zeige, dass P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B) gilt.

Question

Aufgabe:

Seien A und B Mengen.

Zeige, dass P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B) gilt.

Problem/Ansatz:

Ich zeige das durch doppelte Inklusion.

• P(A) ∩ P(B)  ⊆  P(A ∩ B)

•  P(A ∩ B)   ⊆  P(A) ∩ P(B)

Aber wie mache ich das mit der Potenzmenge. ? Weil P(A) ist ja die Potenzmenge von der Menge A.

Comments

Hallo,

ich schreibe Dir mal den Anfange auf:

Wenn  $T \in P(A) \cap P(B)$ ist, dann heißt das, dass T eine Teilmenge von A ist und eine Teilmenge von B. Wie ist dann das Verhältnis von T zum Durchschnit $A \cap B$?

Gruß

Answer 1

Hallo gr, das ist eine sehr schöne Aufgabe. Wir verwenden hier konsequent die Definitionen von Teilmenge, Schnittmenge und Potenzmenge.

Zu zeigen: P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B)    Auflösen von „=“.

• Erstens: Zu zeigen: P(A) ∩ P(B)  ⊆  P(A ∩ B)    Auflösen von „Teilmenge“ mit der Definition von Teilmenge.
     o Zu zeigen: x ∈ (P(A) ∩ P(B)) => x ∈ P(A ∩ B)  Auflösen von „geschnitten“ mit der Definition von geschnitten.
     o x ∈ P(A) und x ∈ P(B) => x ∈ P(A ∩ B)    Auflösen von „Potenzmenge“ mit der Definition von Potenzmenge.
     o ...
     o ...   Auflösen von Teilmenge
     o ...
• Zweitens: Zu zeigen: P(A ∩ B)  ⊆  P(A) ∩ P(B)    Auflösen von Teilmenge.
     o ...

Bitte mache hier weiter. Kommst du jetzt klar?

Comments

Hmmm, 2 Tage sind rum ohne Antwort. Hast du keine Lust mehr auf deine Aufgabe?

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Hmmm, wieder 2 Tage rum. Ich glaube, das wir nix mehr. Manche Leute haben es nicht so mit bitte und danke.