Man zeige: A∩B und A · B := {∑si=1 aibi : ai ∈ A; bi ∈ B; 1 ≤ s < ∞ } sind Ideale von R, und es gilt A · B ⊂ A ∩ B.

Question

Hinweis. Der Ring R in den Aufgaben unten ist kommutativ mit 1, Homomorphismus
bedeutet Ringhomomorphismus, ein Ideal von R wird auch kurz R-Ideal genannt.

Gegeben seien Ideale A und B von R.

Man zeige:

 A∩B und A · B := {∑^s_i=1 a_ib_i : a_i ∈ A; b_i ∈ B; 1 ≤ s < ∞ }
 sind Ideale von R, und es gilt A · B ⊂ A ∩ B.

Answer 1

  Sollte nicht so schwer sein; selbst der Durchschnitt von über-über-über ... abzählbar vielen Idealen ist noch ein Ideal ( analog Vektorraum )

   Und A B ist auch ziemlich klar.  Was musst du zeigen?

   1)  0  €  A  B  ( trivial )

   2 ) Die Summe liegt wieder in A B

     Im Folgenden benutze ich die ===>  Einsteinsche Indexkonvention  Nach Voraussetzung

            a_i  b_i   €  A  B        (  1a  )

          u_k  v_k  €  A  B         (  1b  )

     Die Aufgabe ist fast zu trivial. Denn normal heißt es ja:  Unter der Voraussetzung, dass ( 1ab ) in A B liegen, so auch ihre Summe.   Wir wissen aber  schon, dass (  1ab ) immer in A B liegen.  Dabei möge die Summe in ( 1a ) gehen von 1 bis r und die zweite von 1 bis  s .

   Zwei Summen kannst du aber immer zu einer dritten zusammen fassen aus  ( r + s ) Termen so nach  dem Prinzip

       u_1  :=  a_r+1  ;  v_1  :=  b_r+1      (  2  )

     3) Abgeschlossenheit unter Multiplikation

    Ich bin ja gut in ===> Darstellungsteorie; ich neige immer zu der flapsigen Formulierung

   " Ein Ideal ist nichts weiter als ein Darstellungsraum; wenn R ein Ring ist und J sein Ideal, dann operiert R auf J. "

   Genau das ist ja gemeint.  Keine Multiplikation führt je aus J hinaus;  jede Multiplikation ist quasi ein " linearer " Operator ( Linear bedeutet hier: Distributivgesetz. )  Ist das so weit ungefähr klar?

   Ja gut

       k  (  a_i  b_i  )  =  (  k  a_i  )  b_i       (  3  )

     Im Grunde  gehe ich in ( 3 ) ganz frech her und mache Gebrauch vom ===>  Assoziativgesetz

   Jetzt war noch diese Teilmengenbeziehung zu zeigen; aus Ideal folgt aber grade

       R  B  <  =  B  ===>  A  B  <  =  B       (  4a  )

     Kleiner soll jetzt mal " Teilmenge " bedeuten .  Und wegen des Kommutativgesetzes folgt aus einer Symmetrieüberlegung

       A  B  =  B  A  <  =  A      (   4b  )

     Genau das war aber zu zeigen;  A B  liegt so wohl in A als auch in B .

Comments

  Ich seh grad; manchmal muss man tierisch aufpassen. In der Summe ( 1ab;2 ) wurde überhaupt nicht benutzt, dass A und B selbst auch Ideale sind; genau so gut könnten A und B  irgendwelche ( nicht einmal abgeschlossenen ) Mengen sein, denen du die Elemente entnimmst.

   ( Du bildest alle " Linearkombinationen " )

   Dagegen ( 3 ) funktioniert nur, weil auf der rechten Seite

    mit a_i  das Element  (  k  a_i  )    ( k beliebig ! ) auch wieder in A liegt.