Linearkombination mit Matrizen

Question

Text erkannt:

Zeigen Sie, dass sich das sogenannte Lo-Shu-Quadrat (aus China, ca. 2800 v. Chr.)
$$ L=\left(\begin{array}{lll} 2 & 7 & 6 \\ 9 & 5 & 1 \\ 4 & 3 & 8 \end{array}\right) $$
aus den Matrizen
$$ M_{1}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right), M_{2}=\left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right) \text { und } M_{3}=\left(\begin{array}{rrr} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right) $$
linear kombinieren lässt.

Die Linearkombination mit Vektoren ist mir bekannt aber ich weiß nicht wie man mit Matrizen vorgeht. Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

Aloha :)

Schreibe die Komponenten der Matrizen einfach alle in einen Vektor:

$$a\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\-1\\0\\1\\0\\1\\-1\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0\\-1\\1\\1\\0\\-1\\-1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\7\\6\\9\\5\\1\\4\\3\\8\end{pmatrix}$$

Das sind neun Gleichungen für drei Unbekannte. Wir lassen daher die letzten 6 Gleichungen weg und bestimmen die drei Unbekannten aus den ersten drei Gleichungen:

$$a\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\7\\6\end{pmatrix}$$

Die Lösung dieses Gleichungssystems ist:

$$a=5\quad;\quad b=-3\quad;\quad c=1$$

Wir prüfen nach, ob diese 3 Werte alle 9 Gleichungen erfüllen:

$$5\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\-1\\0\\1\\0\\1\\-1\end{pmatrix}+1\begin{pmatrix}0\\-1\\1\\1\\0\\-1\\-1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\5\\5\\5\\5\\5\\5\\5\\5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\\3\\0\\3\\0\\-3\\0\\-3\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\-1\\1\\1\\0\\-1\\-1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\7\\6\\9\\5\\1\\4\\3\\8\end{pmatrix}\quad\checkmark$$

Also gilt tatsächlich:$$L=5M_1-3M_2+M_3$$