Äquivalenzbeweis bei Linearkombination in Vektorräumen

Question

Aufgabe:

Es sei V ein K-Vektorraum, n ∈ ℕ und v₁, . . . , v_n, w ∈ V . Zeigen Sie, dass die
folgenden zwei Aussagen äquivalent sind:
(1) ⟨v₁, . . . , v_n, w⟩ = ⟨v₁, . . . , v_n⟩
(2) w ∈ ⟨v₁, . . . , v_n⟩

Problem/Ansatz:

Da es sich hier ja um einen Äquivalenzbeweis handelt, muss ich ja zeigen dass aus (1) => (2) und umgekehrt aus (2) => (1) folgt oder? Wie kann ich dies nun aber zeigen? Ich habe mir überlegt dass das irgendwie mit Linearkombinationen im Zusammenhang stehen muss, ist das richtig?

Answer 1

zu   (1) => (2).

⟨v1, . . . , vn, w⟩ = ⟨v1, . . . , vn⟩ ==>  Jede Linearkombination

von  v1, . . . , vn, w ist auch eine von v1, . . . , vn.

Betrachte etwa die Linearkombination 0*v1+0*v2+. . . +0*vn+1* w , also w,

Dann sit das auch eine von v1, . . . , vn also ist w ∈ ⟨v1, . . . , vn⟩.

zu (2) => (1). Sei also w ∈ ⟨v1, . . . , vn⟩, d.h. es gibt a1,...,an in K

mit w= a1*v1+. . . +an*vn. Jetzt ist zu zeigen, dass dann gilt

⟨v1, . . . , vn, w⟩ = ⟨v1, . . . , vn⟩.

Das beinhaltet zwei Aussagen:

1) Jede Linearkombination von v1, . . . , vn, w ist auch eine von v1, . . . , vn.

und:

2) Jede Linearkombination von v1, . . . , vn ist auch eine von v1, . . . , vn,w .

2) ist einfach: Hat man eine LK von v1, . . . , vn, dann hängt man einfach ...+0*w

an, und hat eine von v1, . . . , vn,w .

Bei 1) Sei x=b1*v1+. . . +bn*vn+b*w eine LK von von v1, . . . , vn, w

dann hat man wegen w= a1*v1+. . . +an*vn. (s.o.)

x=b1*v1+. . . +bn*vn+b*(a1*v1+. . . +an*vn)

etwa neu anordnen

x=(b1+b*a1)*v1+. . . +(bn+b*an)*vn zeigt, dass x auch

eine LK von v1, . . . , vn ist.

Comments

Hab noch was ergänzt.

Answer 2

Ja, die lineare Hülle einer Menge von Vektoren ist ja gerade die Menge aller Linearvektoren dieser Vektoren bzw. der kleinste Unterraum, der die Vektoren enthält.

Grobe Idee:

(1) => (2): Wenn die Unterräume gleich sind, ist die lineare Hülle der \(v_i\) der kleinste Vektorraum, der diese Vektoren enthält. Wegen der Gleichheit enthält dieser Vektorraum aber auch den Vektor \(w\).

(2) => (1): Wenn sich \(w\) als Linearkombination der Vektoren \(v_i\) schreiben lässt. dann kann ich \(w\) zur linearen Hülle hinzufügen, ohne dass sich der Unterraum ändert.