Bestimmen sie den Rang von A für beliebiges n

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie den Rang von A für beliebiges n :

Sei n∈ℕ mit n≥2 und sei A=(a_ij)_{1≤i, j≤n} ∈ R^nxn mit a_ij = i+j für alle 1≤ i, j ≤ n

Problem/Ansatz:

Wie kann ist das in der allgemeinen Form lösen?

Ich komme nicht weiter und mir fehlt jeglicher Ansatz

Comments

"Ich komme nicht weiter und mir fehlt jeglicher Ansatz"

Warum nicht einfach mal konkret für n=2,3,4 nachrechnen?

Gruß

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ja für beliebige n habe ich das ganze bereits bestimmt, dass immer n=2 raus kommt. Nun steh ich trotzdem vor dem selben Problem das ganze allgemein darzustellen. Können Sie mir diesbezüglich helfen

Answer 1

Hallo,

ja, der Rang ist 2. Wenn man sich die konkreten Rechnungen anschaut, kommt man auf die Idee, dass die ersten beiden Spalten alle anderen erzeugen:

Die erste Spalte ist ein Vektor mit den Einträgen \(i+1\), die 2. Spalte mit den Einträgen \(i+2\). Gesucht sind also Koeffizienten s,t mit

$$s(i+1)+t(i+2)=i+j$$

für \(j>2\). Man kann diese s,t bestimmen, indem man die Fälle i=1,i=2 betrachtet und erhält:

$$(2-j)(i+1(+(j-1)(i+2)=i+j$$

Gruß