Zeigen Sie, dass Zt ∼ Poisson(λt) gilt!

Question

könntet ihr mir hier bitte bei der Aufgabe helfen?

(X_n)_n∈N sei eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen mit Xn ∼ Exp(λ), λ > 0.
(i) Zeigen Sie, dass X₁ + · · · + X_k eine Dichte f mit
f(x) = (e^−λxλ^k x^k-1/((k-1)!)  , falls x ≥ 0,
        0, sonst
hat!
(ii) Weiter sei Z_t = max{n ≥ 0: X₁ + · · · + X_n ≤ t}.
Zeigen Sie, dass Z_t ∼ Poisson(λt) gilt!
Hinweis: Nutzen Sie, dass P(Zt = k) = P(X₁ + · · · + X_k ≤ t) − P(X₁ + · · · + X_k+1 ≤ t)
gilt!

Vielen Dank im Voraus!