Kongruenzrechnung zu Sachaufgaben

Question

Aufgabe:

Ein Weg der Länge 10 m soll mit Platten der Länge 0,5m und 0,75 m (Breite bleibt nicht berücksichtigt)  ausgelegt werden. Geben sie mithilfe der Kongruenzrechnung alle Möglichkeiten an.

Problem/Ansatz:

ich habe ein generelles Problem diese Aufgabe zu lösen. Die diophantische Gleichung habe ich schon aufgestellt und zu 2x+3y=40 vereinfacht um ganze zahlen zu haben. Aber von hier an weiß ich nicht wie ich mit der kongruenzrechnung fortfahre...

Answer 1

Ein Weg der Länge 10 m soll mit Platten der Länge 0,5m und 0,75 m (Breite bleibt nicht berücksichtigt)  ausgelegt werden. Geben sie mithilfe der Kongruenzrechnung alle Möglichkeiten an

W=40, A =2 , B= 3

1.) 40≡0 mod 2

2.) 34≡0 mod 2

3. ) 28≡0 mod 2

4 .) 22≡0 mod 2
5. ) 16≡0 mod 2
6. ) 10≡0 mod 2

7.) 4≡0 mod 2

Es gibt 7 Möglichkeiten, der Zusammensetzung der Steine. Diese können dann noch unterschiedlich kombiniert werden, doch das ist ein anderes Problem..

Answer 2

0.5·a + 0.75·b = 10
1/2·a + 3/4·b = 10
2·a + 3·b = 40

Nutze z.B. http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/diophant.htm

Es soll die diophantische Gleichung 2a + 3b = 40  gelöst werden.

Das von Euler entwickelte Verfahren ist eng verwandt mit dem euklidischen Algorithmus.
Man betrachtet nur die jeweiligen Reste bei der Division durch einen der Koeffizienten,
geeigneterweise den mit dem kleinsten Betrag, und reduziert die Reste dadurch solange,
bis nur noch ein ganzzahliger Rest bleibt.

Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist a. Die Gleichung wird nach a umgeformt:

  2a = 40 - 3b

        40 - 3b
  a = —————————
          2

Nun wird der Bruch durch komponentenweise Division mit Rest in einen Teil mit ganzzahligen
Koeffizienten und den Rest zerlegt:

                  -b
  a = 20 - b +  ————
                  2

Da alle anderen Summanden ganzzahlig sind, muß auch der Restbruch ganzzahlig sein.
Der ganzzahlige Parameter p wird eingeführt und dem Bruch gleichgesetzt:

        -b
  p = ————
        2

  2p = -b


Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist b. Die Gleichung wird nach b umgeformt:

  b = -2p

Nun ist auf der rechten Seite der Gleichung kein Bruch und keine der Variablen mehr
enthalten. Durch Einsetzen in umgekehrter Reihenfolge werden nun in allen Gleichungen,
in denen eine Variable isoliert wurde, die anderen Variablen eliminiert.

Eliminiere die Unbekannte(n) durch Einsetzen in die Gleichung für a:


        40 - 3b     40 - 3·(-2p)
a =  —————————  =  ——————————————  =  20 + 3p
          2              2



Damit hängen alle Variablen nur noch von einem Parameter ab, der die Menge der ganzen
Zahlen durchlaufen kann:

  a = 20 + 3p
  b = -2p

Comments

Danke für die Antwort. Muss es jedoch leider mit Kongruenzen berechnen.

Answer 3

Wieso ist hier Kongruenzrechnung erforderlich?

0·0,75+20·0,5

4·0,75+14·0,5

6·0,75+11·0,5

8·0,75+8·0,5

10·0,75+5·0,5

12·0,75+2·0,5

Comments

Es ist in der Aufgabe verlangt das es mit kongruenzrechnung errechnet wird.

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Es wird verlangt, dass mit Kanonen auf Spatzen geschossen wird?

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Ja so ungefähr. Ist eine Aufgabe für ein Übungsblatt in der Uni das ich abgeben muss. Sind da halt gerade bei Kongruenzrechnung.