Zeigen Sie ob u und v im R und C Vektorrraum linear abhängig sind

Question

Aufgabe:

Seien u = (1 + i, 2i) und v = (1, 1 + i)
Vektoren in C^2.

(a) Zeigen Sie: u und v sind linear abhängig im Vektorraum C^2 als C-Vektorraum

(b) Zeigen Sie, dass u und v nicht linear abhängig sind in C^2 als R-Vektorraum

Problem:

Ich komme leider null Prozent mit den komplexen Zahlen klar... Zudem kann ich nur sehr schlecht mit Variablen in Vektoren umgehen... kann mir jemand erklären wie ich da am besten vorgehe, oder Ansätze schicken?

LG

Nullcheckerin

Comments

Hier ändert sich nur der Vektorraum mit dem \(\mathbb{C}^2\) ausgestattet wird. Hast du dir die Definition der linearen Unabhängigkeit mal genau durchgelesen? Dort wird auf diesen feinen Unterschied geachtet.

Answer 1

(a) Zeigen Sie: u und v sind linear abhängig im Vektorraum C2 als C-Vektorraum

Rechne nach (1+i)*v = u , also lin. abh.

(b) Zeigen Sie, dass u und v nicht linear abhängig sind in C2 als R-Vektorraum

x*u +y*v = 0 mit reellen x und y gibt

x*(1+i) + y*1 = 0   und   x*2i + y*(1+i)=0

<=> x + ix + y = 0 und 2ix + y + iy = 0

<=> x+y + ix = 0 und y + (2x+ y)*i = 0

==>  x+y=0  und x=0   und y=0  und 2x+y=0

also jedenfalls x=y=0.

Also sind die Vektoren lin. unabh.

Comments

Hallo, b) hab ich verstanden. Aber magst du mir a) nochmal etwas genauer erklären? So komme ich noch nicht 100pro weiter...

Danke schonmal

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Ich habe da gerade eine Weile rumprobiert, aber bin zu keinem Ergebnis gekommen

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Zwei Vektoren sind ja dann lin. abhängig, wenn der

eine ein Vielfaches des anderen ist. Daher mein

Tipp: (1+i)*v=u

also für beide Komponenten nachrechnen

(1+i)*1   = 1+i   und

(1+i) *(1+i) = 2i

Das erste ist ja wohl ganz klar und das zweite

ist (1+i) *(1+i)=1+i+i+i^2 und wegen i^2=-1 also

                  = 2i

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Vielen Dank!! Habe nicht daran gedacht, dass da auch sozusagen aufzuteilen, in 2 Teile.