Bestimmen Sie den Zerfällungskörper und seinen Grad der folgenden Polynome:

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Zerfällungskörper und seinen Grad der folgenden Polynome:

(a) \( X^2 -3 \in \mathbb{Q}[X]\)

(b) \( X^4 -7 \in \mathbb{Q}[X]\)

(c) \( X^6 +1 \in \mathbb{Q}[X]\)

(d) \( X^6 + 1 \in \mathbb{F}_2 [X] \)

(e) \( X^4 - 2X^2 + 2 \in \mathbb{Q}[X]\)
Problem/Ansatz:

Der Zerfällungskörper von (a) müsste \( \mathbb{Q}(\sqrt{3}) \) sein, da \( \sqrt{3}, -\sqrt{3} \) die Nullstellen des Polynoms sind. Bei (b) habe ich schon \( \mathbb{Q}(\sqrt[4]{7} , i) \) und bei (c) \( \mathbb{Q}(i, \sqrt[6]{-1}, (-1)^(5/6)) \) .

Meine Frage ist nun wie ich den Grad dieser Körpererweiterungen bestimmen kann und wie ich bei dem Körper \( \mathbb{F}_2 \) vorgehen kann.

Answer 1

Also bei (c) könntest du versuchen mit Hilfe der Euler-Identität nochmal ein bisschen zu optimieren. Da du ja weißt, dass i und -i Nullstellen sind, führe doch mal eine Polynomdivision durch. Du erhältst dann dementsprechend ein Polynom vierten Grades. Versuche dies in zwei quadratische Faktoren zu reduzieren und wende die pq-Formel an, um Nullstellen der Form a+bi zu erhalten (müssten insgesamt 4 sein). Diese Form kannst du mittels der bereits erwähnten Euler-Identität in Polarkoordinaten überführen. Es zeigt sich, dass damit alle 6 Nullstellen mit Hilfe von Potenzen eines e^(blabla)-Ausdrucks darstellbar sind. Für dich vielleicht einfacher, weil methodischer wäre aber Folgendes:

Erweitere ℚ konsekutiv mit i zu ℚ(i) und dann zu ℚ(i, \( \sqrt{3} \) ) und prüfe, ob die Nullstellen darüber vll. schon darstellbar sind. Mit dem Gradsatz kannst du dann den Rest machen. !!! Der Schlüssel hier ist, dass sich weitere Nullstellen bereits aus Summen (in der Linearkombination) von anderen Nullstellen ergeben. Daher reicht bereits ein Grad kleiner als 6 des Minimalpolynoms aus !!!

Zu (d):

Ich habe mir dabei gedacht, dass man sieht, dass entweder 0 oder 1 eine Nullstelle sein müssen, falls eine existiert. Ohne jedes Mal eine Polynomdivision durchzuführen kann man aber nicht sagen, wie groß die Vielfachheit dieser Nullstelle ist (außer man zieht noch weitere Bewertungskriterien hinzu). Man könnte jetzt wahrscheinlich 5 Polynomdivisionen hintereinander ausführen und feststellen, dass das Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Dann wärst du glaube ich schon fertig, da ja jedes lin. Polynom irreduzibel ist.
Weitaus spannender finde ich allerdings den Ansatz mal zu schauen, in welche nicht-linearen Polynome sich X^6+1 reduzieren lässt. Konkret: Du zerlegst X^6+1 in zwei allg. Polynome, eines vom Grad 4 und eines vom Grad 2 und schaust, ob sich ein Widerspruch in den Koeffizienten ergibt. Falls nicht, dann schreibst du die Faktoren auf und schaust, welcher ein geeigneter Kandidat für das Minimalpolynom wäre (Nullstelle und kleinster Grad) und dann machst du weiter damit, bis du zum Schluss kommst, dass das Polynom vollständig zerfällt, der Zerfällungskörper also bereits der endl. Körper ist.

Zu Aufgabe 2): Da sitze ich selbst noch dran. :P

Comments

Danke für deine Antwort.

Bei (c) habe ich das tatsächlich so ähnlich gemacht, nur dass ich das Polynom vierten Grades dann durch Substitution mit \( x^2 = z \) zu einem Polynom zweiten Grades gemacht habe und dann mit der pq-Formel die 4 übrigen Nullstellen bekommen habe. Um die Rücksubstitution \( x_{1,2} = \pm \sqrt{z_1} \) zu machen musste ich bereits die Polarform verwenden. Hätte ich dann schon erkennen können dass die Nullstellen Linearkombinationen von \(i \) und \( \sqrt{3} \) sind? Und ergibt sich damit ein Grad von \( [\mathbb{Q}(i, \sqrt{3}) : \mathbb{Q}] = 4 \), da \( \mathbb{Q}(i, \sqrt{3}) = \left\{ a + b \cdot i + c \cdot \sqrt{3} + d \cdot i \cdot \sqrt{3} | a,b,c,d \in \mathbb{Q} \right\}\) ?

Zu 2.)

Hier habe ich direkt die Substitution benutzt und bin auf die Nullstellen \( \pm \sqrt{1+i}, \pm \sqrt{1-i} \) gekommen.

---

Zu c)

Bin mir nicht ganz sicher, ob man das so mit der Substitution sofort erkennen kann. Am besten sieht man das, wenn man halt die pq-Formel direkt benutzt bei den Polynomen von Grad 2. Man erhält dann für die Nullstellen ±\( \frac{1}{2} \)√3+\( \frac{1}{2} \)*i, also Real- und Imaginärteil. Da siehst du dann, dass da im Prinzip sofort die Linearkombination von den Basiselementen √3 und i steht. Diese Elemente also ausreichen, um die Nullstellen darzustellen. Wenn du das in Polarkoordianten umschreibst ergeben sich Ausdrücke e^(\( \frac{kπ}{6} \) ) und z.B. ist schon

e^(\( \frac{iπ}{6} \) )+e^(\( \frac{5iπ}{6} \) )=i

Daher kommt, dass der Grad durchaus kleiner als 6 sein kann, obwohl es 6 Nullstellen gibt.

Zu deiner restlichen Lösung: Der Zerfällungskörper müsste funktionieren und auch der Grad scheint mir richtig. (Ich kann dafür allerdings keine Garantie geben, da ich auch eine andere Lösung habe, sieh unten :D) An der Begründung könntest du noch feilen. Es gilt am besten zu zeigen, dass das Minimalpolynom Grad 4 hat. Dafür schaust du dir mal das Polynom X^4+X^2+1 an. ;) Damit das das Minimalpolynom bzgl. e^(\( \frac{iπ}{6} \) ) (denn für diese Darstellung braucht man ja wg. der Umwandlung in Polarkoordinaten \( \sqrt{3} \) und i) ist, muss es normiert und über ℚ irreduzibel sein. Dann ist der Zerfällungskörper ℚ(e^(\( \frac{iπ}{6} \) )) und der Grad [ℚ(e^(\( \frac{iπ}{6} \) )):ℚ]=4. Für die Def. von Normiertheit kannst du im Skript nachlesen und du kannst dir ja nochmal überlegen, warum das Polynom irreduzibel sein muss über ℚ. :P

Habe 2 jetzt auch gelöst und kann gerne später noch meinen Ansatz reinschreiben. :P

---

Danke auf jeden Fall für die Hilfe, wäre cool auch deinen Ansatz zu Aufgabe 2 zu sehen.