Zerfällungskörper sind normale Erweiterungen, also L|K normal.
Mit \( p \neq \operatorname{char}(K) \) kann man folgern, dass f separabel ist. Also L|K normal + separabel = galoisch.
Weiter überlegt man sich, dass p | #Gal(L|K) = [L:K].
Nach https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cauchy_(Gruppentheorie) findest du ein \( \sigma \in \operatorname{Gal}(L|K) \) mit Ordnung \( p \). Die Galoisgruppe operiert ja auf der Nullstellenmenge durch Permutation. \( \sigma \) ist also eine Permutation der Nullstellen mit primer Ordnung \( p \), muss also ein Zyklus der Länge p sein. Da wir nur p Nullstellen haben muss er alle Elemente irgendwie permutieren. Keine Nullstelle wird auf sich selbst abgebildet.
Das lustige an einem Zyklus \( \omega = (a_1 ~~ a_2 ~~ \dotsm ~~ a_n) \): man findet für alle \( i = 2,...,n \) einen Exponenten mit \( \omega^k (a_1) = a_i \). Z.b. \( \omega(a_1) = a_2 , \omega^2(a_1) = a_3, \omega^3(a_1) =a_4 \) usw.
Wir finden also insb. ein \( k \) mit \( \sigma^k(x)=y \)
Wir nennen \( \tau := \sigma^k \in \operatorname{Gal}(L|K) \).
Wenn wir jetzt annehmen, dass \( y \in K(x) \) erhalten wir \( \tau(K(x)) \subseteq K(x) \), also \( \tau^n(K(x)) \subseteq K(x) \) für alle \( n \).
\( \tau \) ist selbst aber wieder ein Zyklus der Länge p. Wir finden also für jede NST \( z \) einen Exponenten s.d. \( \tau^k(x) = z \), aber damit folgt direkt \( z = \tau^k(x) \in K(x) \).
