Wie bestimme ich alle irreduziblen Polynome in C und R?

Question

Ich weiß nicht wie ich die folgende Aufgabe lösen kann:

Wir betrachten die irreduziblen Elemenete des Polynomrings \( K[X] \) für verschiedene Körper \( K \).

a) Bestimmen Sie alle irreduziblen Polynome in \( \mathbb{C}[X] \).
b) Bestimmen Sie alle irreduziblen Polynome in \( \mathbb{R}[X] \).
(Tipp für \( (b) \) : Benutzen Sie den Zwischenwertsatz und die Tatsache, dass \( \overline{P(z)}= \) \( P(\bar{z}) \) für \( P \in \mathbb{R}[X] \) und \( z \in \mathbb{C} \) gilt.)

Answer 1

Zu a):

Da \(\mathbb{C}\) algebraisch abgeschlossen ist,

zerfällt jedes Polynom in Linearfaktoren. Daher

sind die einzigen irreduziblen Polynome die

\I(aX+b\) mit \(a\neq 0\).

Zu (b):

reelle Polynome ungeraden Grades besitzen immer

eine reelle Nullstelle, so dass sie einen Linearfaktor abspalten.

Bei reellen Polynomen geraden Grades treten nichtreelle Nullstellen

immer als konjugiert-komplexe Paare auf ...