Stichwort ist hier Banachscher Fixpunktsatz.
(a)
Betrachte die Funktion \(f(x) = \frac{1}{4} \cos ^{2}(x) \mathrm{e}^{-x} \). Es gilt offenbar für \(x\in [0,\infty)\)
\(\left|f(x) \right|\leq \frac{1}{4} \)
Damit kann \(x=f(x)\) nur im Intervall \(I= [0,\frac{1}{4}]\) vorliegen und wir haben
\(f:[0,\frac{1}{4}] \rightarrow [0,\frac{1}{4}]\)
Dabei gilt
\(|f'(x)| \leq \frac 12\) für \(x\in I\) (Hausaufgabe)
Per Mittelwertsatz ist \(f\) somit eine Kontraktion auf I. Per Banach gibt es nun genau ein \(x\in I\) mit \(f(x) = x\).
(b)
Betrachte zu festem \(g \in C_0[0,1]\)
\(T_g (f): C_0[0,1] \rightarrow C_0[0,1]\) mit \(T_g(f)(x) = g(x) + \frac 12 f(|2x-1|)\).
Wir wissen, dass \(C_0[0,1]\) mit der Norm \(||\cdot ||_{\infty}\) ein Banachraum ist. Wir müssen also nur noch zeigen, dass \(T_g\) eine Kontraktion ist.
Nebenbemerkung:
\(h(x) = |2x-1|\) bildet \([0,1]\) stetig auf \([0,1]\) ab (Hausaufgabe). Damit gilt für \(f \in C_0[0,1]\):
\(\sup_{x\in [0,1]}|f(|2x-1|) | \stackrel{t=h(x)}{=} \sup_{t\in [0,1]}|f(t)| \Rightarrow ||f\circ h||_{\infty} = ||f||_{\infty}\)
Damit erhalten wir mit \(u,v \in C_0[0,1]\)
\(||T_g(u) - T_g(v)||_{\infty} = ||g + \frac 12 u\circ h - (g + \frac 12 v\circ h)||_{\infty}\)
\(= \frac 12||u\circ h - v\circ h||_{\infty} = \frac12||(u-v)\circ h||_{\infty}\)
\( = \frac 12||u-v||_{\infty} \)
Damit ist \(T_g\) eine Kontraktion auf \(C_0[0,1]\) und es existiert per Banach genau ein \(f\) mit \(f = T_g(f)\).
