Eine Basis besteht aus linear unabhängigen Vektoren, die den Raum aufspannen. Ein Beispiel hierfür sind die Vektoren (1, 0)^T und (0, 1)^T, diese sind linear unabhängig. Warum sind diese linear unabhängig? Dafür gucken wir uns die Linearkombination der Vektoren an, die den Null Vektor ergibt: x(1, 0)^T + y(0, 1)^T = 0, kurz (x, y)^T = 0, genau dann, wenn x und y beide 0 sind! (x = 0, y = 0 ist einzige Kombination die Nullvektor ergibt)
1.) Bestimme eine Basis des Vektorraumes v1,v2,v3
- Dazu bestimmen wir, ob die Vektoren linear unabhängig sind.
- Beispiel: Wären v_1 = (1, 0, 0)^T, v_2 = (0, 1, 0)^T und v_3 = (0, 0, 1)^T, dann wären wir hier schnell fertig, da man den Vektoren ihre lineare Unabhängigkeit direkt ansehen kann.
- Zur Überprüfung der Linearen Unabhängigkeit ohne Gauß müssen wir folgende Überlegung anstellen: x*v_1 + y*v_2 = v_3, d.h. gibt es irgendein x und y, mit dem ich den Vektor v_3 als Linearkombination von v_1 und v_2 schreiben kann. Mit Gleichungen formuliert also:
-x + y = 2 → x = y -2
2x + y = -3 → -0.5y - 3/2
x - 4y = -3 → x = 4y - 3
--> x = -5/3 und y = 1/3
--> (-5/3)*(-1, 2, 1)^T + (1/3)*(1, 1, -4)^T = (2, -3, -3)^T
--> Die Vektoren sind linear abhängig!
- Eine Basis dieses Vektorraumes ist dann durch die Vektoren v_1 und v_2 gegeben!
