Was ist y'=(x-y)/(x+y) mit Randbedingung (x0,y0)=(0,1)?

Question

Differentialgleichung erster Ordnung Randbedingung

Problem/Ansatz:

Was ist y'=(x-y)/(x+y) mit Randbedingung (x0,y0)=(0,1) ?

Answer 1

Hallo,

teile Zähler und Nenner durch x

y'=(x-y)/(x+y)

y'= (1 -(y/x))/(1+y/x))

z= y/x

y=z x

y'= z+z'x

------>Einsetzen in die DGL:

z+z'x =(1 -z)/(1+z) Lösung via Trennung der Variablen

z'x =(1 -z)/(1+z)  -z

(dz/dx) *x = (1-2z-z^2)/(1+z)

((1+z)/(1 -2z-z^2)) dz =dx/x

(-1/2) *ln(-z^2-2z+1)= ln|x| +C | *(-2)

ln(-z^2-2z+1)= 2( ln|x| +C) | e hoch

-z^2-2z+1= C1/x^2 |*(-1)

z^2+2z-1= (-C1)/x^2 

z^2+2z-1+(C1)/x^2  =0 ->pq-Formel

y_1.2= -x ± √(2x^2+C1)

->

AWB: (x0,y0)=(0,1) ->neg. Lösung entfällt

1 = -0 + √(2*0^2+C1)

C₁=1

----->

Lösung:

y= -x + √(2x^2+1)