Für R=Z[√−5] zeige man, dass die Elemente 9 und 6 + 3√−5 keinen ggT in R haben.

Question

Aufgabe:

Für R=Z[√−5] zeige man, dass die Elemente 9 und 6 + 3√−5 keinen ggT in R haben.

Problem/Ansatz:

Den Ansatz, den ich hatte, waren alle Teiler der Elemente zu finden und zu überprüfen, ob einer mit denen des anderen Elements übereinstimmt. Allerdingsstoße ich damit auf so umständliche Formeln, dass ich nicht weiter komme. Gibt es vielleicht einen Ansatz/Lösung, die ich hier komplett übersehe?

Answer 1

Wenn ein \(ggT(9,6+3\sqrt{-5})\) existiert, dann ist offenbar

\(ggT(9,6+3\sqrt{-5})=3\cdot ggT(3,2+\sqrt{-5})\).

Ich zeige, dass \(ggT(3, 2+\sqrt{-5})\) nicht existiert:

Ist \(x+y\sqrt{-5}\in R\), so ist die (algebraische) Norm

\(N(x+y\sqrt{-5})=x^2+5y^2\). Ein gemeinsaner Teiler \(d\) von

\(3\) und \(2+\sqrt{-5}\) hat dann wegen der Multiplikativität

von \(N\) die Eigenschaft:

\(N(d)\; | \; 9=N(3)=N(2+\sqrt{-5})\), d.h. \(N(d)\in \{1,3,9\}\).

Ist \(d=a+b\sqrt{-5}\), so kommt \(N(d)=3\) nicht in Frage, da

\(a^2+5b^2=3\) keine ganzzahligen Lösungen besitzt.

Damit sind \(3\) und \(2+\sqrt{-5}\) irreduzibel in \(R\).

Da beide aber auch nicht assoziiert sind, gibt es keinen \(ggT\).

Answer 2

               9     = 3·3

6+3\( \sqrt{-5} \)=3·(2+\( \sqrt{-5} \))

Ein gemeinsamer Teiler ist 3