Aufgabe:
Sei K ein Körper der Charakteristik ungleich 2 (das heißt
1 + 1 ≠ 0 in K).
(i) Sei M ∈ Kn×n
eine obere oder untere Dreiecksmatrix. Zeigen Sie, dass die
Determinante von M das Produkt ihrer Diagonaleinträge ist.
(ii) Sei f : Kn×n → K eine Multilinearform (der Spalten). Zeigen Sie, dass die
folgenden beiden Eigenschaften äquivalent sind:
(a) f (a1, . . . , ai, . . . , aj, . . . , an) = −f (a1, . . . , aj, . . . , ai, . . . , an) für alle i ≠ j.
(b) f (A) = 0 für jede Matrix A, die zwei gleichen Spalten besitzt.
