Zeigen Sie, dass ... eine Gruppe ist (Körper, Untergruppen, Determinanten)

Question

Aufgabe:

(a) Es seien \( K \) ein Körper, \( G \) eine Untergruppe von \( K^{\times}=(K \backslash\{0\}, \cdot) \) und \( n \in \mathbb{N}_{\geq 1} \). Zeigen Sie, dass \( \{A \in M(n \times n, K) \mid \operatorname{det}(A) \in G\} \) eine Gruppe ist.

(b) Es seien \( n \in \mathbb{N}_{\geq 1} \) ungerade und \( A \in M(n \times n, \mathbb{R}) \) mit \( { }^{t} A=-A \). Zeigen Sie, dass \( \operatorname{det}(A)=0 \) ist.

Answer 1

zu b)  Seien  n ∈ ℕ  und  A ∈ M(n×n,ℝ)  mit  ^tA = -A. 
Es ist  det(A) = det(^tA) = det(-A) = (-1)ⁿ·det(A).
Wenn nun  n  ungerade ist, folgt  det(A) = -det(A)  und daraus die Behauptung.