Verwenden die Definition des Matrix-Exponentials als Reihe, um e^A für die Matrizen A zu berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnung des Matrix-Exponentials.

Verwenden Sie die Definition des Matrix-Exponentials als Reihe, um e^A für die folgenden Matrizen A zu berechnen.

(a) \( A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right) \)

(b) \( A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\ 3 & -2 & 0\end{array}\right) \)

(c) \( A=\left(\begin{array}{ll}0 & b \\ b & 0\end{array}\right), b \in \mathbb{R} \)

könnte mir jemand helfen bitte?

Vielen Dank im Voraus! :)

Comments

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Answer 1

Die Exponantialfunktion einer Matrix ist äquivalent zur Exponentialfunktion für reelle Zahlen definiert, also als $$ e^A = \sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!} $$ Das muss Du jetzt ausrechnen.

Comments

muss ich bis n rechnen oder?

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Bei der Diagonalmatrix solltest Du zeigen das gilt

$$ e^A =  \begin{pmatrix} e^{a_{11}} & 0 & 0 \\ 0 & e^{a_{22}} & 0\\ 0 & 0 & e^{a_{33}}   \end{pmatrix} $$

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Wieso a₁₁ , a₂₂ und a₃₃?

und wie kann ich das zeigen?

Also falsch was ich gemacht habe? Ich habe 2 Videos auf Youtube gesehen, in den der Weg von der Lösung so war..

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In Aufgabe (a) hast Du eine Diagonalmatrix. Die Definition des Matrixexponentials ist

$$ e^A = \sum_{k=0}^\infty \frac {A^n}{n!} $$ Weil \( A \) eine Diagonalmatrix ist, ist auch \( A^n \) eine Diagonalmatrix und damit auch \( \frac {A^n}{n!} \)

Die Summe von Matrizen ist die Summe der einzelnen Elemente in der Matrix, also z.B. für die Matrix \( \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \) gilt

$$ \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{k=0}^n a_{11} & \sum_{k=0}^n a_{12} \\ \sum_{k=0}^n a_{21} & \sum_{k=0}^n a_{22} \end{pmatrix} $$

Bei Deiner Matrix kommt dann nach der Methode

$$ e^A = \begin{pmatrix} e^2 & 0 & 0 \\ 0 & e^{ \frac{1}{3} } & 0 \\ 0 & 0  & e^{-1} \end{pmatrix}  $$ raus.

In dem Fall muss man also gar nicht multiplizieren!

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Ist die Lösung bei c) so?

e^A =  \( \begin{pmatrix} 0 & e^b \\ e^b & 0 \end{pmatrix} \)

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Sicher nicht, weil \( \begin{pmatrix} 0 & b \\ b & 0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} b^2 & 0 \\ 0 & b^2 \end{pmatrix} \) ist und Du somit nicht immer den gleichen Typ von Matrix hast.

Ich würde die Eigenwerte ausrechnen und die Eigenvektoren. Dürfte nich schwer sein und das dann in die Exponentialreihe einsetzen.

Wenn gilt $$ A = T D T^{-1} $$ mit \( D \) ist eine Diagonalmatrix, dann folgt $$  e^A = T e^D T^{-1} $$ und wie \( e^D \) ausgerechnet wird, weisst Du ja.

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was ist T?

Die Eigenvektore sind : v₁ = \( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \)

v₂ = \( \begin{pmatrix} -1\\1\\ \end{pmatrix} \) Ich habe jetzt nicht verstanden wo ich sie einsetzen soll..

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Die Eigenvektoren sind die Spaltenvektoren der Matrix \( T \). Setzte diese da ein und berechne \( T^{-1} A T \) dass sollte dan eine Diagonalmatrix sein.

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Vielen Dank für die Erklärung! ^_^

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Hey @ullim :)

Ich habe eine Frage und wäre seehr dankbar wenn du mir antworten würdest..

Ich habe diese Matrix A. Sie ist Diagonalmatrix. Wie sollte e^A aussehen?

:))

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Sieht die Matrix \( A \) so aus, ich kann das nicht lesen?

\( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

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Ja sieht A so aus. Wie sollte jetzt e^A aussehen?

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\( e^A = \begin{pmatrix} e^2 & 0 & 0 \\ 0 & e^{-10} & 0 \\ 0 & 0 & e^0 \end{pmatrix} \) und \( e^0 = 1 \)

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! :))))