Für welche α∈R ist A inventierbar?

Question

Aufgabe:

Für welche α∈R ist A inventierbar?

a) A=(1, 0, α; 0, 2, -1; α, 1, 0)

b) A=(1+α, 2, 0; α, 1, 1; 1, 0, α)

c) A=(α, 1, 0; 1-α, 0, α; 2α, 1, 1+α)

(Nach jedem ";" geht es in der nächten Zeile der 3x3 Matrix weiter)

Ich habe hier absolut keinen Plan was ich tun soll oder wie ich es anfangen könnte :( vor allem bei b & c verwirren mich die Ausdrücke 1+α & 1-α...

LG

Comments

Wenn du gar keinen Ansatz hast, rechne doch einfach die Determinante und anschließend ihre Nullstellen aus. Das sind dann die Elemente für welche die Matrix NICHT invertierbar ist, für alle anderen schon.

Deine Ergebnisse kannst du mit www.matrixcalc.org jederzeit selbstständig kontrollieren.

Answer 1

Aloha :)

Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist. Es reicht bei dieser Aufgabe also, die Determinanten zu betrachten. Ich schreibe im Folgenden \(a\) statt \(\alpha\), weil das im Latex einfach schneller geht.

$$D_a=\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & a\\0 & 2 & -1\\a & 1 & 0\end{array}\right|\stackrel1=\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 2 & -1\\a & 1 & -a^2\end{array}\right|=-2a^2+1=-2\left(a^2-\frac{1}{2}\right)$$Mit \(a=\pm\frac{1}{\sqrt2}\) wird die Determinante zu null. Für alle anderen \(a\) ist die Matrix invertierbar.

[Zur Berechnung: in Schritt (1) habe ich \(a\)-mal die erste Spalte von der dritten Spalte subtrahiert.]

$$D_b=\left|\begin{array}{rrr}1+a & 2 & 0\\a & 1 & 1\\1 & 0 & a\end{array}\right|\stackrel1=\left|\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1\\a & 1 & 1\\1 & 0 & a\end{array}\right|\stackrel2=\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\a & 1-a & 1+a\\1 & -1 & 1+a\end{array}\right|$$$$\phantom{D_b}=(1-a)(1+a)+(1+a)=(1+a)(1-a+1)=(1+a)(2-a)$$Mit \(a=-1\) oder \(a=2\) wird die Determinante zu null. Für alle anderen \(a\) ist die Matrix invertierbar.

[Zur Berechnung: In Schritt (1) habe ich die zweite Zeile von der ersten Zeile subtrahiert. In Schritt (2) habe ich die erste Spalte von der zweiten Spalte subtrahiert und zu der dritten Spalte addiert.]

Die letzte Determinante würde ich dir gerne zur Übung lassen. Es kommt \(2a^2-1\) heraus. Schau mal bitte, ob du das selbst hinkriegst. Andernfalls frag hier einfach nochmal nach...