Hallo Karsten,
Die allgemeine Punkt-Steigungsform einer Geraden lautet:$$g: \quad y(x) = m(x- x_0) + y_0$$D.h. die Gerade verläuft durch den Punkt \((x_0|\,y_0)\) und hat die Steigung \(m\). Das gilt genauso für eine Tangente. Der Stützpunkt ist der Berührpunkt \(B\) auf der Parabel und die Steigung ist die Steigung der Parabel in \(B\). Sei die Funktion der Parabel \(f(x)\) und liegt der Berührpunkt bei \(x=u\) und somit \(B\) bei \(B(u|\,f(u))\), so lautet die Tangentengleichung$$t: \quad y(x) = f'(u)(x-u) + f(u) $$In Deinem Fall ist $$f(u) = 7,5 - 0,5u^2 \\ f'(u) = -u$$und die konkrete Tangentengleichung in \(u\) lautet$$\begin{aligned}y(x) &= -u(x-u) + 7,5-0,5u^2 \\&= 0,5u^2 - ux + 7,5\end{aligned}$$Die Tangente muss durch den Punkt \(P(8|\,0)\) verlaufen, also ist$$y(8) = 0$$Einsetzen in die Tangentengleichung gibt:$$\begin{aligned} 0 &= 0,5u^2 -8u + 7,5 &&|\, \cdot 2\\ 0 &= u^2 - 16u + 15 &&|\, \text{pq-Formel}\\ u_{1,2} &= 8 \pm \sqrt{64 - 15} \\ &= 8 \pm 7\\ \implies u_1 &= 1, \quad u_2 = 15 \end{aligned}$$Es gibt also zwei Tangenten durch \(P\) an die Parabel. Sie berühren die Parabel in \(B_1(1|\,7)\) und \(B_2(15|\,-105)\).
Das Bild zur Aufgabe:
Der zweite Berührpunkt ging nicht auf's Bild.
Gruß Werner
