Bestimme die Abbildungsmatrizen

Question

Aufgabe:

Bestimme die Abbildungsmatrizen für folgende Abbildungen.Welche sind linear. Man soll hier überprüfen

b) f: R^3 -> r^3 (x y z) (eine spalte) → (x+2 (1.Zeile) y+1 (2.Zeile) x-2 (3.Zeile))

Problem:

Wie bestimmt man die Abbildung? Welche Bedingung muss allgemein gelten? Woher weiß ich, wann es linear ist? Wir haben immer die Standardbasisvektoren gewählt und geschaut, ob sie die Bedingung erfüllen. Aber wie geht das genau? Kann mir jemand die Abbildungsmatrizen schritt für schritt erklären? Bei b) habe ich einfach die Standardbasen in die funktion eingesetzt und das Ergebnis anschließend mit (x y z) multipliziert und nachgeschaut, ob man die Ausgangsfunktion bekommt. Stimmt der Gedanke so? Ich bitte um baldige Antwort

Comments

Hallo,

bei der Abbildung findet auch eine Translation statt. Schon mal etwas von den Begreiffen "affin-linear" oder "homogene Koordinanten" gehört?

Answer 1

Aloha :)

Wenn ich das richtig verstanden habe, lautet die Abbildungsvorschrift:

$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}x+2\\y+1\\x-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}+x\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$

Wir müssen noch prüfen, ob die Abbildung \(f\) linear ist. Bei einer linearen Abbildung muss der Nullvektor immer auf den Nullvektor abgebildet werden, denn:$$f(\vec 0)=f(\vec 0+\vec 0)=f(\vec 0)+f(\vec 0)=2f(\vec 0)\implies f(\vec 0)=2f(\vec 0)\implies f(\vec 0)=\vec 0$$Bei dieser Abbildung hier wird \((0|0|0)\) auf \((2|1|-2)\) abgebildet, daher ist die Abbildung nicht linear.

Comments

Echt gut erklärt, aber wieso f(0+0)? Könntest du das noch vielleicht in Vektorschreibweise zeigen?

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Das habe ich gemacht, um die Linarität nutzen zu können:$$f(a+b)=f(a)+f(b)$$Wegen \(0=0+0\) gilt dann nämlich:$$f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)\implies f(0)=0$$

Die Tatsache, dass eine lineare Abbildung 0 auf 0 abbilden muss, ist ein wichtiges Prüfkriterium, das oft sehr schnell hilft, zu entscheiden, ob eine Funktion linear ist oder nicht.

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Achso, okay, danke! Aber gibt´s da eine schnellere Variante dies zu berechnen? Und kann ich diese Vorgehensweise immer anwenden? Wie sieht´s aus wenn wir (2xy (1.Zeile) y+z(2.zeile)) hätten? Können wir das auch noch schnell rechnen?

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Diese Abbildung ist nicht linear, man kann noch nicht mal eine Matrix aufstellen, weil eine Matrix keine Koordinaten multiplizieren kann. Du kriegst also das Produkt \(x\cdot y\) mit einer Matrix nicht hin. Daher ist die Funktion auch nicht linear.