Berechnen Sie die Grenzwerte lim x -> 0 (((1+x)^5) - (1+5x)) / ((x^2)+(x^5))

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte

lim x -> 0      (((1+x)^5) - (1+5x)) / ((x^2)+(x^5))

…

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Wenn du den Zähler einfach ausrechnest, kannst du mit \(x^2\) kürzen und \(x=0\) einsetzen:$$\phantom{=}\frac{(1+x)^5-(1+5x)}{x^2+x^5}=\frac{(x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1)-(5x+1)}{x^2+x^5}$$$$=\frac{x^5+5x^4+10x^3+10x^2}{x^2+x^5}=\frac{x^2(x^3+5x^2+10x+10)}{x^2(1+x^3)}=\frac{x^3+5x^2+10x+10}{1+x^3}$$Für \(x=0\) erhalten wir also den Grenzwert \(10\).