Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte: lim x→0 (x^2) / (1-exp(x))

Question

Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:

$$a) \displaystyle\lim_{{{x}\rightarrow{0}}}\frac{{{x}^{{{2}}}}}{{{1}- \exp{{\left({x}\right)}}}}\\$$

$$b) \displaystyle\lim_{{{x}\rightarrow{0}}}\frac{{ \log{{\left({1}+{x}\right)}}}}{{ \sin{{\left({x}\right)}}}}\\$$

$$c) \displaystyle\lim_{{{x}\downarrow{0}}}{x} \log{{\left({x}\right)}}\\$$

$$d) \displaystyle\lim_{{{x}\downarrow{0}}} \sin{{\left({x}\right)}} \log{{\left({x}\right)}}$$

Answer 1

$$a) \displaystyle\lim_{{{x}\rightarrow{0}}}\frac{{{x}^{{{2}}}}}{{{1}- \exp{{\left({x}\right)}}}}\\$$

mit de Hospital betrachte

$$a) \displaystyle\lim_{{{x}\rightarrow{0}}}\frac{2x}{- \exp{{\left({x}\right)}}} = 0$$

b)  entsprechend gibt 1.

Answer 2

\(b) \displaystyle\lim_{{{x}\rightarrow{0}}}\frac{{ \ln{{\left({1}+{x}\right)}}}}{{ \sin{{\left({x}\right)}}}}\\\)

Auch mit der Regel von l´Hospital:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln (x+1)}{\sin (x)}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x+1}}{\cos (x)}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{(x+1) \cos (x)}=1 \)