Für x≠0 ist es nach den gängigen Sätzen überall stetig. An der Stelle 0 musst du
schauen, ob der Grenzwert für x gegen 0 gleich dem
angegebenen Funktionswert 0 ist. Dem ist so; denn $$\lim\limits_{x\to 0}x*sin(\frac{1}{x})$$
ist 0, weil der erste Faktor x für x gegen 0 natürlich gegen 0 geht
und der zweite ist beschränkt.
Also ist f auch stetig bei 0, somit also auf ganz R.