In welchen Punkten sind die folgenden Funktionen stetig, in welchen unstetig?

Question

Aufgabe:

In welchen Punkten sind die folgenden Funktionen stetig, in welchen unstetig? Mit einer Begründung Bitte!

(1) \( |\cdot|: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, x \longmapsto|x| \),
(2) \( \mathbb{R} \backslash\{0\} \longrightarrow \mathbb{R}, x \longmapsto|1 / x| \),
(3) \( g: \mathbb{Q} \longrightarrow \mathbb{R}, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & \text { falls } x<\sqrt{2} \\ 1, & \text { falls } x>\sqrt{2}\end{array}\right. \)
(4) \( f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1 / q, & \text { falls } x=p / q \text { mit } p \in \mathbb{Z} \text { und dem kleinstmöglichen positiven} q \in \mathbb{N} \\0, & \text { falls } x \notin \mathbb{Q}\end{array}\right.\)

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Hat Niemand ein Vorschlag oder Idee dafür ?

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ich habe schon (4) gelöst, könnte jemand bei dem Rest helfen?

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Zu (1): Die Betragsfunktion ist definiert als |x|=x für x>=0 und -x für x<0.

Es ist also nur der Punkt x₀=0 auf Stetigkeit zu überprüfen, da der Rest der Funktion einer Linearen Funktion entspricht (trivial).

Hier bildest du den Rechtsseitigen und Linksseitigen Grenzwert

$$ \lim_{x \to 0^+} |x|=\lim_{x \to 0^+} x =0 $$

und

$$ \lim_{x \to 0^-} |x|=\lim_{x \to 0^-} (-x) =0 $$

Da beide Grenzwerte existieren und gleich sind, folgt

$$ \lim_{x \to 0} |x|=0 $$

und damit die Stetigkeit im Punkt x₀=0

Ist bei mir allerdings schon eine Weile her, dass ich sowas gemacht habe aber ich glaube so müsste es gehen ;) Gibt noch andere Kriterien für Stetigkeit, die du anwenden kannst um das zu prüfen wie z.b. das Epsilon-Delta-Kriterium.