Question

In welchem Punkten ist die funktion stetig bzw. unstetig?

Aufgabe:

\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad(x, y) \mapsto\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & \text { für }(x, y) \neq(0,0) \\ 0, & \text { für }(x, y)=(0,0)\end{array}\right. \)

Answer 1

Für \((x,y)\neq 0\) ist \(f\) stetig als Quotient stetiger Funktion. Interessant ist lediglich \((x,y)=(0,0)\). Es lohnt sich immer mal die Wege für \(x=0\) und \(y=0\) gedanklich zu testen, da haben wir aber jeweils:$$\lim\limits_{(x,0)\to (0,0)}0=\lim\limits_{(0,y)\to (0,0)}0=0$$ Entlang des Weges \(x=y^2\) passiert aber etwas interessantes:$$\lim\limits_{(y^2,y)\to (0,0)}\frac{y^2y^2}{(y^2)^2+y^4}=\lim\limits_{(y^2,y)\to (0,0)}\frac{y^4}{2y^4}=\frac{1}{2}$$ Wenn wir uns also parabolisch aus \(y\) annäheren, so erhalten wir als Grenzwert \(0.5\). Das steht im Widerspruch zur Annahme, dass \(f\) stetig ist, da wir auf jedem Weg den gleichen Grenzwert erhalten müssen.