Aloha :)
1) In der ersten Restriktion betrachten wir \(x\in(-\infty|-2]\). Hier lautet die Funktion$$f_1(x)=x+4$$Da Polynome immer stetig sind, ist die Funktion stetig für \(x\in(-\infty|-2)\).
Beachte, dass wir noch keine Aussage über die Stetigkeit am Rand \(x_0=-2\) der Restriktion treffen können, da links- und rechtsseitiger Grenzwert gleich sein müssen und der rechte Grenzwert von der anderen Restriktion bestimmt werden muss.
2) In der ersten Restriktion betrachten wir \(x\in(-2|\infty)\). Hier lautet die Funktion$$f_1(x)=\frac12x^2$$Da Polynome immer stetig sind, ist die Funktion stetig für \(x\in(-2|\infty)\).
3) Wir untersuchen die Stetigkeit an der Grenze \(x_0=-2\) der beiden Restriktionen, indem wir den links- und den rechtsseitigen Grenzwert bilden:$$\lim\limits_{x\nearrow-2}f_1(x)=\lim\limits_{x\nearrow-2}\left(x+4\right)=+2\quad;\quad\lim\limits_{x\searrow-2}f_1(x)=\lim\limits_{x\searrow-2}\left(\frac12x^2\right)=+2$$Da der links- und der rechtsseitige Grenzwert gegen \(x_0=-2\) gleich sind und(!) gleich dem Funktionswert \(f(-2)\) sind, ist die Funktion auch bei \(x_0=-2\) stetig.
Zusammengefasst: Die Funktion ist stetig für \(x\in\mathbb R\)
~plot~ (x+4)*(x<=-2) ; 1/2*x^2*(x>-2) ; {-2|2} ; [[-6|4|-3|4]] ~plot~
