Aloha :)
1) In der ersten Restriktion betrachten wir x∈(−∞∣−2]. Hier lautet die Funktionf1(x)=x+4Da Polynome immer stetig sind, ist die Funktion stetig für x∈(−∞∣−2).
Beachte, dass wir noch keine Aussage über die Stetigkeit am Rand x0=−2 der Restriktion treffen können, da links- und rechtsseitiger Grenzwert gleich sein müssen und der rechte Grenzwert von der anderen Restriktion bestimmt werden muss.
2) In der ersten Restriktion betrachten wir x∈(−2∣∞). Hier lautet die Funktionf1(x)=21x2Da Polynome immer stetig sind, ist die Funktion stetig für x∈(−2∣∞).
3) Wir untersuchen die Stetigkeit an der Grenze x0=−2 der beiden Restriktionen, indem wir den links- und den rechtsseitigen Grenzwert bilden:x↗−2limf1(x)=x↗−2lim(x+4)=+2;x↘−2limf1(x)=x↘−2lim(21x2)=+2Da der links- und der rechtsseitige Grenzwert gegen x0=−2 gleich sind und(!) gleich dem Funktionswert f(−2) sind, ist die Funktion auch bei x0=−2 stetig.
Zusammengefasst: Die Funktion ist stetig für x∈R
Plotlux öffnen f1(x) = (x+4)·(x<=-2)f2(x) = 1/2·x2·(x>-2)P(-2|2)Zoom: x(-6…4) y(-3…4)