In welchen Punkten ihres Definitionsbereichs sind die folgenden Funktionen jeweils stetig

Question

Aufgabe:

In welchen Punkten ihres Definitionsbereichs sind die folgenden Funktionen jeweils stetig? Begründen Sie Ihre Antworten.
 $f_{1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto\left\{\begin{array}{ll}x+4, & \text { falls } x \leq-2 \\ \frac{1}{2} x^{2}, & \text { falls } x>-2\end{array}\right.$
Hinweis: Betrachten Sie die beiden Restriktionen $\left.f_{1}\right|_{(-\infty ;-2]}$ und $\left.f_{1}\right|_{[-2 ;+\infty)}$.

Answer 1

Aloha :)

1) In der ersten Restriktion betrachten wir $x\in(-\infty|-2]$. Hier lautet die Funktion$$f_1(x)=x+4$$Da Polynome immer stetig sind, ist die Funktion stetig für $x\in(-\infty|-2)$.

Beachte, dass wir noch keine Aussage über die Stetigkeit am Rand $x_0=-2$ der Restriktion treffen können, da links- und rechtsseitiger Grenzwert gleich sein müssen und der rechte Grenzwert von der anderen Restriktion bestimmt werden muss.

2) In der ersten Restriktion betrachten wir $x\in(-2|\infty)$. Hier lautet die Funktion$$f_1(x)=\frac12x^2$$Da Polynome immer stetig sind, ist die Funktion stetig für $x\in(-2|\infty)$.

3) Wir untersuchen die Stetigkeit an der Grenze $x_0=-2$ der beiden Restriktionen, indem wir den links- und den rechtsseitigen Grenzwert bilden:$$\lim\limits_{x\nearrow-2}f_1(x)=\lim\limits_{x\nearrow-2}\left(x+4\right)=+2\quad;\quad\lim\limits_{x\searrow-2}f_1(x)=\lim\limits_{x\searrow-2}\left(\frac12x^2\right)=+2$$Da der links- und der rechtsseitige Grenzwert gegen $x_0=-2$ gleich sind und(!) gleich dem Funktionswert $f(-2)$ sind, ist die Funktion auch bei $x_0=-2$ stetig.

Zusammengefasst: Die Funktion ist stetig für $x\in\mathbb R$

Plotlux öffnen

f₁(x) = (x+4)·(x<=-2)f₂(x) = 1/2·x²·(x>-2)P(-2|2)Zoom: x(-6…4) y(-3…4)

Answer 2

Hallo

da die Funktionen überall ausser x =.2 stetige Funktionen sind must du nur den GW x->-2 von links und rechts bestimmen stimmt er überein ist f überall stetig, sonst in -2 nicht stetig.

Gruß lul

Comments

stimmt er überein   mit ---   : hier fehlt etwas

---

du meinst wohl mit dem funktionswert? aber das ist ja auch der GW der einen Funktion?

lul

Answer 3

Innerhalb des Definitionsbereichs und sogar
außerhalb sind beide Funktionen stetig.
Der Funktionwert an der Nahtstelle ist auch
identisch.
Mir fehlt noch das Problem.