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\(f_1\) ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich differenzierbar und es gilt:$$f'_1(x)=\frac{1-3\ln x}{x^4}\quad;\quad x>0$$Die Ableitung wird null, wenn ihr Zähler null wird:$$0\stackrel!=1-3\ln x\implies3\ln x=1\implies \ln x=\frac13\implies x=e^{\frac13}=\sqrt[3]e$$
Dasselbe gilt für \(f_2\), wobei hier:$$f'_2(x)=\frac{5-e^x(x+5)}{x^6(e^x-1)^2}\quad;\quad x>0$$Hier sieht man, dass der Zähler für \(x=0\) zu null wird. Allerdings gehört \(x=0\) nicht zum Definitionsbereich der Funktion. Eine weitere Nullstelle im Bereich \(x>0\) kann der Zähler nicht haben, weil \(e^x(x+5)\) für \(x>0\) streng monoton wächst und daher immer mehr von der \(5\) subtrahiert wird. Für alle \(x>0\) ist der Zähler daher \(<0\).