An welchen Punkten sind die folgenden Funktionen nicht differenzierbar? f(x) = |x-2|

Question

Aufgabe:

An welchen Punkten sind die folgenden Funktionen nicht differenzierbar?

a) f(x) = |x-2|

Ansatz/Problem:

Ich habe hier quasi schon die Lösung, bei welcher ich auch verstehe wie sie Zustande kommt, aber ich verstehe den letzten Schritt einfach nicht. Und zwar warum jeweils -1 und +1 für die Grenzwerte herauskommen. Ich unersuche die Funktion ja im Punkt 2, daher auch der rechts/linkseitige Grenzwert von 2. Würde ich nun 2 einsetzen (2-2)/(2-2) komm ja 0/0 heraus. Das gleiche beim rechtsseitigen Limes. Ich vermute mal das für x aber 0 eingesetzt wurde damit +1 und -1 heraus kommt. Aber warum? Es wird die Funktion doch im Punkt x=2 untersucht.

\( \lim \limits_{2^{-}} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{2-x}{x-2} \rightarrow-1 \)
und
\( \lim \limits_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{x-2}{x-2} \rightarrow 1 \)

Answer 1

Hi, es wurde vor dem Grenzwertübergang gekürzt!

Korrekt wäre dies:

Es ist $$ \lim_{x\to2^-}\frac { f(x)-f(2) }{ x-2 } = \lim_{x\to2^-}\frac { 2-x }{ x-2 } = \lim_{x\to2^-}(-1) = -1 $$ und $$ \lim_{x\to2^+}\frac { f(x)-f(2) }{ x-2 } = \lim_{x\to2^+}\frac { x-2 }{ x-2 } = \lim_{x\to2^+}(1) = 1 $$ daher existiert $$ \lim_{x\to2}\frac { f(x)-f(2) }{ x-2 } $$ nicht.

Answer 2

Ein Grenzwert 0 durch 0 ist gar nicht definiert. Daher bildet man doch grenzwerte

Was ist der Grenzwert von y = (2x) / (3x) für x gegen 0

Man kann doch nicht sagen das ist 0 / 0 also 0 ...

Zeichne dir mal

y = |x - 2|

Tipp.

Es ist die Funktion

y = |x|

nur um 2 Einheiten nach rechts verschoben.

Wie ist das mit der Steigung der Funktion rechts und links von der 2?

Answer 3

Wenn man den Nachweis über die einfachte Variante führt
wäre dies

1.Fall
x - 2 > 0
Für x > 2 ist
f ( x ) = x -2
m = 1

2.Fall
x - 2 < 0
Für x < 2 ist
f ( x ) = (-1) * ( x -2 ) = -x + 2
m = -1

~plot~ abs ( x - 2 ) ~plot~

Comments

Der Nachweis, so wie in deiner Frage angeführt, ist korrekt.
Es wird der links- bzw. rechtsseitige Grenzwert untersuchst.

Es wird nicht x = 2 untersucht.

lim x −> 2(-) = (-1) * ( x -2 ) / ( x - 2 ) | noch kann gekürzt werden
lim x −> 2(-) = -1

lim x −> 2(+) = ( x -2 ) / ( x - 2 ) | noch kann gekürzt werden
lim x −> 2(-) = 1