Question

Geben Sie an, in welchen Punkten aus ihren Definitionsbereichen die folgenden
Funktionen jeweils differenzierbar sind, und berechnen Sie dort die jeweilige Ableitung.
Gibt es jeweils Punkte, in denen die Ableitungen den Wert 0 haben?

(i) f1 : (0;+∞) → R, x→\(x\rightarrow \frac{log(x)}{x^{3}} \)

(ii) f2 : (0;+∞) → R, \(x\rightarrow \frac{1}{x^{5}(e^{x}-1)} \)

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

\(f_1\) ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich differenzierbar und es gilt:$$f'_1(x)=\frac{1-3\ln x}{x^4}\quad;\quad x>0$$Die Ableitung wird null, wenn ihr Zähler null wird:$$0\stackrel!=1-3\ln x\implies3\ln x=1\implies \ln x=\frac13\implies x=e^{\frac13}=\sqrt[3]e$$

Dasselbe gilt für \(f_2\), wobei hier:$$f'_2(x)=\frac{5-e^x(x+5)}{x^6(e^x-1)^2}\quad;\quad x>0$$Hier sieht man, dass der Zähler für \(x=0\) zu null wird. Allerdings gehört \(x=0\) nicht zum Definitionsbereich der Funktion. Eine weitere Nullstelle im Bereich \(x>0\) kann der Zähler nicht haben, weil \(e^x(x+5)\) für \(x>0\) streng monoton wächst und daher immer mehr von der \(5\) subtrahiert wird. Für alle \(x>0\) ist der Zähler daher \(<0\).

Comments

Die Ableitung wird null, wenn ihr Nenner null wird:  :-)

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Lol, danke dir ;)

Ich wollte nur sehen, ob du auch aufpasst ;)))

Hab's korrigiert.